<二分查找+双指针+前缀和>解决子数组和排序后的区间和

<二分查找+双指针+前缀和>解决子数组和排序后的区间和

题目重现：

给你一个数组 nums ，它包含 n 个正整数。你需要计算所有非空连续子数组的和，并将它们按升序排序，得到一个新的包含 n * (n + 1) / 2 个数字的数组。

请你返回在新数组中下标为 left 到 right （下标从 1 开始）的所有数字和（包括左右端点）。由于答案可能很大，请你将它对 10^9 + 7 取模后返回。

示例 1：输入：nums = [1,2,3,4], n = 4, left = 1, right = 5
输出：13
解释：所有的子数组和为 1, 3, 6, 10, 2, 5, 9, 3, 7, 4 。将它们升序排序后，我们得到新的数组 [1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10] 。下标从 le = 1 到 ri = 5 的和为 1 + 2 + 3 + 3 + 4 = 13 。

示例 2：输入：nums = [1,2,3,4], n = 4, left = 3, right = 4
输出：6
解释：给定数组与示例 1 一样，所以新数组为 [1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10] 。下标从 le = 3 到 ri = 4 的和为 3 + 3 = 6 。

示例 3：输入：nums = [1,2,3,4], n = 4, left = 1, right = 10
输出：50

提示：

• 1 <= nums.length <= 10^3
• nums.length == n
• 1 <= nums[i] <= 100
• 1 <= left <= right <= n * (n + 1) / 2

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/range-sum-of-sorted-subarray-sums

​ 这是在leetcode上碰到的一道题，但由于设置的测试样例并不是很好，而导致暴力解法也可通过，所以此题只是中等难度。但看过题解的解法思路后觉得有必要做一记录。由浅入深，先通过暴力解法，然后引出优化的方法。

暴力法

​ 这道题给出一个数组nums，如果暴力解题，可以先计算出它的所有非空连续子数组的和，然后进行排序，再计算它下标left到right的和，最后取余数即可。

​ 列举出所有的非空连续子数组，使用左右双指针，假设题目给定nums为1，2，3，4，那么先让左指针指1，右指针从1开始依次滑动过整个数组后面的数，即可得到以1开头的子数组和为1，3，6，10，再让左指针右移一位，继续按上述可得2，5，9......以此类推可得所有子数组，然后对其进行排序。子数组和的数目总共为n*(n+1)/2个。

//暴力法
class Solution {
    public int rangeSum(int[] nums, int n, int left, int right) {
        int[] new_arr = new int[n*(n+1)/2+1];	//定义数组存放所有子数组
        int index = 1;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            int pre = 0;
            for (int j = i; j < nums.length; j++) {
                new_arr[index++] = pre+nums[j];	//dp思想，左指针固定后，右指针滑动后的下一个子数组等于上次加nums[j]之和
                pre = pre+nums[j];	//更新pre
            }
        }
        Arrays.sort(new_arr);	//对子数组进行排序
        long count = 0;
        for (int i = left; i <= right; i++) {
            count+=new_arr[i];
        }

        while (count >= 1000000007) {	//取余数后返回
            count -= 1000000007;
        }
        return (int)count;
    }
}

前置讨论

​ 讨论二分查找+双指针解法前，先看leetcode的另一道题378. 有序矩阵中第K小的元素，这道题的解题思路有助于我们更好的解决上面的题目。

给定一个 n x n 矩阵，其中每行和每列元素均按升序排序，找到矩阵中第 k 小的元素。
请注意，它是排序后的第 k 小元素，而不是第 k 个不同的元素。

示例：

matrix = [
[ 1, 5, 9],
[10, 11, 13],
[12, 13, 15]
],
k = 8,

返回 13。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/kth-smallest-element-in-a-sorted-matrix

​ 先观察这个给定的数组matrix发现：整个数组的行从左到右递增，从上到下递增，刚开始我想的是用优先级队列，首先加入一个最小的数（最左上角），然后每次加入队列头的右边的数和下边的数，周而复始的循环k次，队列头就是这个数。但由于优先级队列的维护本身就是非常耗时的，所以整个程序执行下来时间效率很低，运行了42ms。下面给出优化思路：

​ 二分查找的思路，以下图为例：（图片来自leetcode官方题解）

​ 通过观察发现mid = (1+16)/2 = 8，大于mid的都分布在红线下面，而不大于mid的部分分布在红线上面，所以可以使用二分查找。

​ 沿着图中蓝色箭头走一边，就可以计算出上方板块的大小，即不大于mid的数字的数目，这样通过二分将mid逐渐逼近第k小的元素。

​ 算法描述：目的是统计不大于当前mid的数的数目，从第0列最后一行开始，如果此列最下面的数都不大于mid，那么此列所有的数肯定都不大于mid，继续到下一列，将列指针向右移动，如果此时最后一行的数大于mid，则将指示行的指针上移直到遇到一个不大于mid的数就停止，而这个数上面的数肯定都不大于mid。如果行指针已经滑到0还没有不大于mid的数出现，那说明后面已经不可能有不大于mid的数了，因为这个数组向右和向下是递增的。

​ 当访问第j列的时候，如果第i+1行大于mid，而第i行不大于mid，则这列不大于mid的数数目为i+1（考虑第0行）。统计整个数组中不大于mid的数的数目。如果小于k，则说明mid太小，将left右移至mid+1处，否则将right移至mid处。直到左右指针相遇，此时它们所指向的就是第k小的数。

private static int kthSmallest(int[][] matrix, int k) {
    int n = matrix.length;
    int left = matrix[0][0];
    int right = matrix[n-1][n-1];
    int mid;
    //二分查找，找到第k小的数
    while (left < right) {
        mid = left + ((right-left) >> 1);
        if (check(matrix,mid,k,n)) {
            right = mid;
        } else {
            left = mid + 1;
        }
    }
    return left;
}

//利用双指针检查当前mid是否过大（即是否在数组matrix中比mid大的数超过了k个）
private static boolean check (int[][] matrix, int mid, int k, int n) {
    int i = n-1;        //指示行坐标
    int j = 0;          //指示列坐标
    int num = 0;
    while (i >= 0 && j < n) {
        if (matrix[i][j] <= mid) {
            j++;
            num += (i+1);
        } else {
            i--;
        }
    }
    return num>=k;
}

Q1：考虑check函数，为什么要matrix[i][j] <= mid而不是matrix[i][j] < mid？

A：因为数组matrix中可能会出现重复的数字，加入第k小的数字也重复了，形如1，2，3，3，3，3，3，5，6第5小的数字，那第3和第4个数字等于3，当却确实在第5小的数字之前。

Q2：考虑check函数，为什么要return num >= k而不是return num > k？

A：因为left和right以及mid是从最小到最大的数之间的任意一个数，所以并不能保证它们就一定是数组中存在的数，如果某个mid能保证小于等于它的数恰好为k个，则第k小的数就是它之前最近的一个存在于数组中的数。所以当此时不大于mid的数大于或 等于k个时，就可以保证要求的第k小的数一定在mid或mid之前，故而将right移动到mid处。

Q3：考虑kthSmallest函数，为什么check函数返回为真就左移，假就右移？

A：设置第k小的数为res，当mid在res左边时，此时数组中不大于mid的数会因为少了res而小于k，因为res是第k个，所以left会右移，以求使mid右移。当mid在res右边时或者就刚好等于res时，此时数组中大于等于mid的数会等于或超过k个，由于res为第k个，而mid又在其右或等于，所以此时数组中不大于mid的数至少为k个，所有使right左移，使得mid左移。

Q4：考虑kthSmallest函数，为什么能保证最后left指向的就是数组中的元素呢？

A：根据check函数返回的情况不断将左右指针逼近res，mid总是在res左右横跳，带动left和right逼近res，而mid终会有一次等于res，此时不大于mid的数大于或等于k个，右指针左移到res上，这时的mid总是小于res，而导致不大于mid的数目小于k，左指针右移，左右指针相邻时，下一次左指针移动，必定移动到res上，left == right，跳出循环。

Q5：考虑kthSmallest函数，为什么right = mid，而left = mid+1呢？

A：这是由于除法向下取整而导致的二分查找的特性，假设此时left=2，right=3，则mid=2，如果left = mid，则会一直原地打转。如果right = mid-1，则可能此时的mid == res（mid==res时必定是右指针左移，参考Q3），右指针就会移动到res之前，从而错过正解。

优化解法

​ 继续回到这个题，看完前面前置的讨论后相信对解答这个题会有很大帮助。如题目给的示例1：nums = {1，2，3，4}，这样我们可以构造出它的非空连续子数组的和矩阵如下：

​ 第1行是以1开头的子数组的和，分别对应1；1,2；1,2,3；1,2,3,4，第2行是以2行开始的子数组的和，以此类推，观察此数组发现，这个数组从左到右以此递增，从上到下以此递增，看到这应该就明白了上面那个前置讨论的意义了。

​ 先确定我们的大思路：题目要求构造一个非空连续子数组的和，在这个新数组中从left到right的元素之和，那我们可以参考前置讨论里的方法先得到前left-1大的数字，然后计算前left-1个数字之和记为f(left-1)，再同理计算前right个数字之和记为f(right)，最后答案就是f(right) - f(left-1)。

	<h5 id="1">flag</h5>

计算第k小的数字时候构造以1开始的前缀和数组sums，数组大小为n+1，我们实际有意义的从1开始，数组的第0个初始化为0，这样就不需要构建整个二位数组了，而计算第2行的时候，发现第2行的每列数字对应上一行相应列的数字只是少了sums[1]，第三行相比第一行来说就是少了sums[2]，所以只需用第一行的数字依次减去sums[i]就是第i行的各数，比如第二行的5就等于sums[3] - sums[1] = 6 - 1。

/**
 * 获取小于mid的数的个数
 * @param sums 原数组的前缀和
 * @param n 原数组的大小
 * @param mid 二分法中的当前mid
 * @return 返回严格小于mid数的个数
 */
 private int getCnt (long[] sums, int n, int mid) {
    int res = 0;        //返回的个数
    for (int i = 0, p = 1; i < n; i++) {
        while (p <= n && sums[p] - sums[i] <= mid) {
            p++;
        }
        //因为每次符合都对p++，所以当最后一次符合条件后也对p进行了加1操作，而加1后p已经指向了最后一个符合条件的下一个数，所以还要给p-1
        res += p-1-i;
    }
    return res;
}

    /**
     * 利用二分查找获取第k小的数
     * @param sums 原数组的前缀和
     * @param n 原数组的大小
     * @param k 第k小
     * @return 返回第k小的数
     */
    private int getKth (long[] sums, int n, int k) {

        int left = 0, right = Integer.MAX_VALUE;    //二分查找指示左右的两个指针
        while (left < right) {
            int mid = left + ((right-left) >> 1);
            if (getCnt(sums, n, mid) >= k) {
                right = mid;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return left;
    }

​ 我们设计一个getSum(k)这个函数，就是上述的f函数，用来计算前k小的数字之和，计算时我们使用前缀和数组，并构造一个前缀和的前缀和数组，如下示例：

​ 此时我们已经得到了第k小的数字，要计算前k小的所有数字之和，考虑到第k小的数字会有重复大小的数字，所以分开计算，明确一点：我们已经得到第k小个数字，假设为6，前k小的数字为1,2,3,6,6,6，可能后面还有几个6，不过由于k个数的限制，并不纳入计算，所以我们先计算严格小于6的数字之和以及这些数字的个数记为cnt，然后加上(k-cnt) * 6。

​ 我们构造出了前缀和数组sums和前缀和的前缀和数组ssums

​ 这样以来如果我们要计算第1行的sums[2]+sums[3]的和，由于ssums[3] = sums[1] + sums[2] + sums[3]，而ssums[1] = sums[1]，所以sums[2] + sums[3] = ssums[3] - ssums[1]。

​ 但是，我们如果要计算第2行的2+5要如何计算呢，通过前面的发现，2比上一行的3少一个1，5比上一上的6少个1，所以就等于ssums[3] - ssums[1] - 2*1，其实整个第2行都会比第1行少1，而第i行会比第1行少nums[i]。

​ 因此对于连续非空子数组的和构成的数组我们要求所有严格小于第k小的数（记为kth）的和，遍历每一行，每行都是从小到大递增，当找到此行比kth小的最后一个数后，只需要根据前缀和的前缀和数组就可在O(1)的时间里算出来，假设第i行的第p列是此行最后一个小于kth的数，则此行小于kth的数字和为ssums[p] - ssum[i] - (p-i)*nums[i]。

class Solution {
    final int MODULO = 1000000007;
    //二分+双指针

    /**
     * 获取小于mid的数的个数
     * @param sums 原数组的前缀和
     * @param n 原数组的大小
     * @param mid 二分法中的当前mid
     * @return 返回严格小于mid数的个数
     */
    private int getCnt (long[] sums, int n, int mid) {
        int res = 0;        //返回的个数
        for (int i = 0, p = 1; i < n; i++) {
            while (p <= n && sums[p] - sums[i] <= mid) {
                p++;
            }
            //因为每次符合都对p++，所以当最后一次符合条件后也对p进行了加1操作，而加1后p已经指向了最后一个符合条件的下一个数，所以还要给p-1
            res += p-1-i;
        }
        return res;
    }

    /**
     * 利用二分查找获取第k小的数
     * @param sums 原数组的前缀和
     * @param n 原数组的大小
     * @param k 第k小
     * @return 返回第k小的数
     */
    private int getKth (long[] sums, int n, int k) {

        int left = 0, right = Integer.MAX_VALUE;    //二分查找指示左右的两个指针
        while (left < right) {
            int mid = left + ((right-left) >> 1);
            if (getCnt(sums, n, mid) >= k) {
                right = mid;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return left;
    }

    /**
     * 获取前k小的数的和
     * @param sums 原数组的前缀和
     * @param ssums 原数组前缀和的前缀和
     * @param n 原数组大小
     * @param k k
     * @return 返回前k小的数字之和
     */
    private long getSum (long[] sums, long[] ssums, int n, int k) {
        long res = 0, cnt = 0;
        long kth = getKth(sums, n, k);       //第k小的数字
        //分两部分计算，考虑到有的数字会重复，所以先计算严格小于kth的数字的和与个数cnt，在加上剩余k-cnt个第k小的数字
        for (int i = 0, p = 1; i < n; i++) {
            while (p<=n && sums[p]-sums[i] < kth) {
                p++;
            }
            res = (res + ssums[p-1] - ssums[i] - (long)(p-1-i)*sums[i]);
            cnt += p-1-i;
        }
        return (res + (k-cnt)*kth);
    }

    /**
     * 计算
     * @param nums
     * @param n
     * @param left
     * @param right
     * @return
     */
    public int rangeSum (int[] nums, int n, int left, int right) {
        long[] sums = new long[n+1];
        long[] ssums = new long[n+1];

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            sums[i] = sums[i-1]+nums[i-1];
            ssums[i] = ssums[i-1]+sums[i];
        }
        long r = getSum(sums, ssums, n, right);
        long l = getSum(sums, ssums, n, left-1);
        return (int) ((r-l)%MODULO);

    }
}