背包问题
多阶段动态规划问题
有一类动态规划可解的问题，它可以描述称为若干有序的阶段，且每个阶段的状态只和上一个阶段的状态有关，一般把这类问题称为多阶段规划问题。
01 背包问题
01背包问题描述如下：
有 n 件物品，每件物品的重量为 w[i]，价值为 c[i]。现有一个容量为 V 的背包，问如何选取物品放入背包，使得背包内物品的总价值最大。其中每种物品都只有一件。
例子：
5 8 // 5 件物品， 容量为 83 5 1 2 2 // w[i] 重量
4 5 2 1 3 // c[i] 价值
如果采取暴力搜索的方法，每件物品都有两种选择，因此 n 件物品就有 2n，而O（ 2n） 的时间复杂度完全是不能接受的。而使用动态规划可以将复杂度将为 O（nV）。
令dp[i][v]表示前 i 件物品恰好装入容量为 v 的背包中所能获得的最大价值。那怎么求解 dp[i][v] 呢？
考虑第 i 件物品的选择策略，有两种策略：
- 不放第 i 件物品，那么转化为前 i - 1 件物品恰好装入容量为 v 背包中所能获得的最大价值，
dp[i-1][v]。 - 放第 i 件物品，那么问题转换为前 i - 1 件物品恰好装入容量为 v - w[i] 的背包中所能获得的最大价值，也就是
dp[i-1][v-w[i]] + c[i]
由于只有这两种策略，所以状态转移方程为
dp[i][v] = max{ dp[i-1][v], dp[i-1][v-w[i]] + c[i] }
由于 dp[i][v] 只与之前的状态 dp[i-1][] 有关，所以可以枚举 i 从 1 到 n，v 从 0 到 V，通过边界 dp[0][v] = 0（即前 0 件物品放入任何容量 v 的背包中都只能获得价值 0）就可以把整个 dp 数组递推出来。而 dp[i][v] 表示的恰好为 v 的情况，所以需要枚举 dp[n][v] 取其最大值。
因此可以写出代码：
for(int i = 1; i <= n; i++) {
// 装第 i 件物品
for(int v = w[i]; v <= V; v++) {
dp[i][v] = max(dp[i-1][v], dp[i-1][v-w[i]] + c[i]);
}
}
时间复杂度和空间复杂度都是 O（nV），时间复杂度不能再优化，但空间复杂度还可以优化。
注意到状态转移方程中计算 dp[i][v] 总是需要 dp[i-1][v] 左侧部分的数据（即正上方和左上方的数据），且当计算 dp[i+1][] 时，dp[i-1] 的数据又用不到了（只需要用 dp[i][]），所以我们可以直接开一个一维数组dp[v]！枚举方向从 1 到 n，v 从 V 到 0 （逆序），这样，状态转移方程为：
dp[v] = max{ dp[v], dp[v-w[i]] + c[i] }
可以这样理解，dp[i][v] 左上角的数据和 dp[i][v] 右边的数据放在同一个数组里面，每次计算出一个 dp[i][v] ，将相当于把 dp[i-1][v] 覆盖掉，因为之后的计算不需要再用到了。我们把这种技巧称为 滚动数组。
代码如下：
for(int i = 1; i <= n; i++) {
for(int v = V; v >= w[i]; v--) {
dp[v] = max(dp[v], dp[v-w[i]] + c[i]);
}
}
这样就可以用一维数组解决了，空间复杂度为 O(V)。
特别说明： 如果用二维数组存放，v 的枚举顺序是顺序还是逆序无所谓，如果用到一维数组，v 的枚举就必须是逆序！
完整求解 01 背包代码如下：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdint>
using namespace std;
const int maxn = 1010;
int C, N; // 最大报销钱数，菜品数量
int V[maxn], P[maxn]; // 菜的评价分数，菜的价格
int dp[maxn]; // dp数组
int max(int a, int b) {
return a > b ? a : b;
}
int main()
{
freopen("data.txt","r", stdin);
while (scanf("%d%d", &C, &N) != EOF)
{
for (int i = 0; i < N; i++)
{ // 菜的价格，菜的评价
scanf("%d%d", &P[i], &V[i]);
}
fill(dp, dp + maxn, 0); // 初始化为 0
for (int i = 0; i < N; i++)
{ // 枚举菜品
for (int v = C; v >= P[i]; v--)
{
dp[v] = max(dp[v], dp[v-P[i]] + V[i]);
}
}
printf("%d
", dp[C]);
}
return 0;
}
/*
Author: Veeupup
点菜问题，01 背包
input:
90 4
20 25
30 20
40 50
10 18
40 2
25 30
10 8
output:
95
38
*/
01 背包中的每个物品都可以看作一个阶段，这个阶段的状态有 dp[i][0] ~ dp[i][V]，它们均由上一个阶段的状态得到。事实上，对于能够划分阶段的问题来说，都可以尝试把阶段作为状态的一维，这可以方便的得到满足无后效性的的状态。如果当前的设计不满足无后效性，那么不妨把状态进行升维，即增加一维或若干维来表示相应的信息，这样可能就满足无后效性了。
完全背包问题
完全背包问题描述如下：
有 n 中物品，每种物品的单件重量为 w[i]，价值为 c[i]。现在有一个容量为 V 的背包，问如何选取物品放入背包，使得背包内物品的总价值最大。每件物品都有无穷件。
和 01 背包唯一不同的地方就在于物品有了无数件，同样使用动态规划：
设置一个二维数组，dp[i][v]表示前 i 件物品恰好装入容量为 v 的背包中所能获得的最大价值。数组 dp[n][m] 的值就是完全背包问题的解。
和 0-1 背包一样，只考虑第 i 件物品时，可将情况分为是否放入第 i 件物品两种情况：
- 不放第 i 件物品，
dp[i][v] = dp[i-1][v] - 放第 i 件物品，由于放了第 i 件物品之后还是可以接着放，所以转移到
dp[i][j-w[i]]，，即dp[i][j] = dp[i][j-w[i]] + v[i]
所以状态转移方程为 ：
dp[i][j] = max{ dp[i-1][j], dp[i][v-w[i]] + c[i] }
边界： dp[0][v] = 0
其实唯一的区别就在于 max 的第二个参数换成了 dp[i] 而不是 dp[i-1]，所以同样可以写成一维形式：
dp[v] = max{ dp[v], dp[v-w[i]] + c[i] }
写成一维形式之后和 01 背包完全相同，唯一的区别在于此处是 正向枚举，而 01 背包中的一维形式必须是 逆向枚举，完全背包的一维形式代码如下：
for(int i = 1; i <= n; i++) {
for(int v = w[i]; v <= V; v++) {
dp[v] = max(dp[v], dp[v-w[i]] + c[i]);
}
}
正向枚举是因为求解 dp[i][v] 总是需要它左边的 dp[i][v-w[i]] 和它上方的 dp[i-1][v]，显然如果 v 从小到大枚举，dp[i][v-w[i]] 就总是计算出的结果，而计算出 dp[i][v] 之后就再也用不到 dp[i-1][v] 了，所以必须正向枚举。
完全背包代码如下：
/*
Author: Veeupup
点菜问题，01 背包
input:
90 4
20 25
30 20
40 50
10 18
40 2
25 30
10 8
output:
95
38
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdint>
using namespace std;
const int maxn = 1010;
int C, N; // 最大报销钱数，菜品数量
int V[maxn], P[maxn]; // 菜的评价分数，菜的价格
int dp[maxn]; // dp数组
int max(int a, int b) {
return a > b ? a : b;
}
int main()
{
freopen("data.txt","r", stdin);
while (scanf("%d%d", &C, &N) != EOF)
{
for (int i = 0; i < N; i++)
{ // 菜的价格，菜的评价
scanf("%d%d", &P[i], &V[i]);
}
fill(dp, dp + maxn, 0); // 初始化为 0
for (int i = 0; i < N; i++)
{ // 枚举菜品
for (int v = p[i]; v <= C; v++)
{
dp[v] = max(dp[v], dp[v-P[i]] + V[i]);
}
}
printf("%d
", dp[C]);
}
return 0;
}
搞懂 01 这些经典的动态规划问题，就能够理解动态规划的意义所在了。