数论题，注意以下性质：
(1) 若 ( divisor | F(n) ) 则必存在整数 (r) 使得 ( n equiv r^2 (mod divisor) (r in mathbf{N}且n>r^2) )
(2) 若 ( n equiv r^2 (mod divisor) (r in mathbf{N}且n>r^2) ) 则必有 ( divisor | F(n) )
若 (divisor) 不是质数则性质不成立，因此原题转换为如下问题：
求区间 ( [lo, hi] ) 内满足 ( n equiv r^2 (mod divisor) (r in mathbf{N}且n>r^2) ) 的所有不同的n的个数
利用同余的性质来对n进行划分：
定义 ( S(r) ) 为所有 ( n(r) ) 的集合
(1) 若 ( r_1^2 ot equiv r_2^2 (mod divisor) ) 则 ( S(r_1) cap S(r_2) = emptyset )
(2) 若 ( r_1^2 equiv r_2^2 (mod divisor) ( r_1>r_2 ) ) 则 ( S(r_1) subseteq S(r_2) )
式(2)可以这样来看，(r) 越小 (n>r^2) 造成的n的下限就越小，所以 (S(r)) 的范围就越大
因此将所有的 (n(r)) 按照除以 (divisor) 的余数进行划分，对每一个划分，只保留最小的那个 (r) 的 (S(r)) 即 (S(r_{min}) )
若 (n leq max)则：
(S(r)={r^2+d, r^2+2d, r^2+3d, ..., r^2+kd | r^2+kd leq max 且 r^2+(k+1)d > max })
(|S(r)|=(max-r^2) // divisor )
( sum S(r_{min}) ) 即为所求，记得还要考虑 (n) 所在的区间 ([lo, hi])，
【优化】
更深层次的推导可以得出以下结论：
( sum_{r=0}^{divisor//2}S(r) ) 即为所求
猜测应该跟同余性质有关，但不知道怎么证，下面只给出没有优化过的代码
1 class SparseFactorialDiv2: 2 def getCount(self, lo, hi, divisor): 3 return self.calc(hi, divisor) - self.calc(lo-1, divisor) 4 5 def calc(self, ran, divisor): 6 mods = [False] * divisor 7 y = 0 8 tot = 0 9 while y * y < ran: 10 r = y * y % divisor 11 if not mods[r]: 12 mods[r] = True 13 tot += (ran - y*y) // divisor 14 y = y + 1 15 return tot 16 17 18 19 20 # test 21 o = SparseFactorialDiv2() 22 23 # test: hi == lo 24 assert(o.getCount(1,1, 3) == 0) 25 26 # test case 27 assert(o.getCount(4, 8, 3) == 3) 28 assert(o.getCount(9, 11, 7) == 1) 29 assert(o.getCount(1, 1000000000000, 2) == 999999999999) 30 assert(o.getCount(16, 26, 11) == 4) 31 assert(o.getCount(10000, 20000, 997) == 1211) 32 assert(o.getCount(123456789, 987654321, 71) == 438184668) 33 print('ok')