Cauchy中值定理：设函数f(x)和g(x)均在[a,b]上连续，在(a,b)上可微，且对任何x∈(a,b)均有g'(x)≠0，则存在ξ∈(a,b)，使得(frac{f'(ξ)}{g'(ξ)}=frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)})
证明：在所假设的条件下，g(a)≠g(b)，否则由Rolle定理，存在ξ∈(a,b)，使得g'(ξ)=0，与假设矛盾。
令(F(x)=f(x)-f(a)-frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)])，a≤x≤b，
则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可微，且F(a)=F(b)=0。由Rolle定理，存在∈(a,b)，使得F'(ξ)=0，
即(F'(ξ)=f'(ξ)-frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(ξ)=0)
因此(frac{f'(ξ)}{g'(ξ)}=frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)})，得证。