Bellman—Ford算法思想

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Bellman—Ford算法能在更普遍的情况下(存在负权边)解决单源点最短路径问题。对于给定的带权(有向或无向)图G=(V，E)，其源点为s，加权函数w是边集E的映射。对图G运行Bellman—Ford算法的结果是一个布尔值，表明图中是否存在着一个从源点s可达的负权回路。若存在负权回路，单源点最短路径问题无解；若不存在这样的回路，算法将给出从源点s到图G的任意顶点v的最短路径值d[v]

Bellman—Ford算法流程

 

分为三个阶段：

      (1)初始化：将除源点外的所有顶点的最短距离估计值

         dis[v]ß+∞，dis[s]ß0；

      (2)迭代求解：反复对边集E中的每条边进行松弛操作，使得顶点集v中的每个顶点v的最短距离估计值逐步逼近其最短距离；

      (3)检验负权回路：判断边集E中的每一条边的两个端点是否收敛。如果存在未收敛的顶点，则算法返回false，表明问题无解；否则算法返回true，并且从源点可达的顶点v的最短距离保存在dis[v]中。

 

【程序】

{单源最短路径的Bellman-ford算法执行v-1次，每次对每条边进行松弛操作如有负权回路则输出"Error"}
 const
  maxn=100;
  maxe=maxn*(maxn-1)div 2;
 type
  edge=record
         a,b,w  :integer;
       end;
 var
  edges :array[1..maxe]of edge;
  dis   :array[1..maxn]of integer;
  pre   :array[1..maxn]of integer;
  e,n,s :integer;
 procedure init;
 var
  i     :integer;
 begin
  e:=0;
  assign(input,'g.in');reset(input);
  readln(n,s);
  while not eof do
    begin
      inc(e);
      with edges[e] do readln(a,b,w);
    end;
  fillchar(dis,sizeof(dis),$7f);//初始值为无穷大
  dis[s]:=0;pre[s]:=s;
 end;
 procedure relax(u,v,w:integer);
 begin
  if dis[u]+w<dis[v] then
    begin
      dis[v]:=dis[u]+w;
      pre[v]:=u;
    end
 end;
 function bellman_ford:boolean;
 var
  i,j   :integer;
 begin
  for i:=1 to n-1 do
    for j:=1 to e do
      with edges[j] do relax(a,b,w);
  for i:=1 to e do
    with edges[i] do
      if dis[a]+w<dis[b] then exit(false);
  exit(true)
 end;
 procedure print_path(i:integer);
 begin
  if pre[i]<>s then print_path(pre[i]);
  write('-->',i)
 end;
 procedure show;
 var
  i     :integer;
 begin
  for i:=1 to n do
    begin
      write(i:3,':',dis[i]:3,':',s);
      print_path(i);
      writeln
    end;
 end;
 {========main========}
 begin
 init;
 if bellman_ford then show
  else writeln('Error!!')
 end.

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