连续子数组的最大和

##题目描述 HZ偶尔会拿些专业问题来忽悠那些非计算机专业的同学。今天测试组开完会后,他又发话了:在古老的一维模式识别中,常常需要计算连续子向量的最大和,当向量全为正数的时候,问题很好解决。但是,如果向量中包含负数,是否应该包含某个负数,并期望旁边的正数会弥补它呢？例如:{6,-3,-2,7,-15,1,2,2},连续子向量的最大和为8(从第0个开始,到第3个为止)。给一个数组，返回它的最大连续子序列的和，你会不会被他忽悠住？(子向量的长度至少是1)

思路

动态规划: f(n) = max(f(n-1)+a[n], a[n])
时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)。

空间复杂度O(n)代码

public class Solution {
    public int FindGreatestSumOfSubArray(int[] array) {
        // dp[i]为0-i的子问题最优解
        int ans = array[0];
        int[] dp = new int[array.length];
        dp[0] = array[0];
        for(int i = 1; i < array.length; i++) {
            dp[i] = Math.max(dp[i-1]+array[i], array[i]);
            ans = Math.max(ans, dp[i]);
        }
        return ans;
    }
}

空间复杂度O(1)代码

public class Solution {
    public int FindGreatestSumOfSubArray(int[] array) {
        // 与二维的动态规划不同，dp[i]只用一次，类似于斐波那契，只需O(1)空间保存最近值即可
        int ans = array[0];
        int localsum = array[0];
        for(int i = 1; i < array.length; i++) {
            localsum = Math.max(localsum + array[i], array[i]);
            ans = Math.max(ans, localsum);
        }
        return ans;
    }
}

笔记

子问题的分析：[0,n+1]子问题的解，在[0,n]的解+a[n+1]与a[n+1]两者之间，取后者时说明之前的子问题的解还没有a[n+1]单个数的值大。