约数问题

1、a|b

性质：

（1）若a|b且a|c，则对任意x,y，有a|(xb+yc)；
（2）若a|b且a|c，则a|c；
（3)设m!=0,则a|b，当且仅当ma|mb；
（4）若a|b且b|a，则a=±b；
带余除法：设a,b是两个正整数，且b!=0,则存在唯一的整数q和r，使a=qb+r(0<=r<|b|).

2、算术基本定理的推论

对于N=P₁^C₁•P₂^C₂•......•P_m^C_m，则N的正约数集合可写成{P₁^b₁•P₂^b₂•......•P_m^b_m}，其中0<=b_i<=c_i

N的正约数个数：(c₁+1)•(c₂+1)•......•(c_m+1)
N^y ：(yC₁+1)•(yC₂+1)•......•(yC_m+1)
N的所有正约数的和：(1+P₁+P₁²+......+P₁^C₁)•(1+P₂+P₂²+......+P₂^C₂)•......•(1+P_m+P_m²+......+P_m^C_m)

3、约数和

3.1 单个数约数和

时间复杂度：O(√n)

for(int i=1;i*i<=n;++i){
   if(n%i==0){
     f[++cnt]=i;
     if(i!=n/i) f[++cnt]=n/i;
   }
}

3.2 N个数约数和（打表）

时间复杂度：O(n√n)

vector<int> f[N];
for(int i=1;i<=n;++i)
   for(int j=1;j<=n/i;++j)
      f[i*j].push_back(i);

3.3 N个数约数和的和（整除分块）

时间复杂度：O(n)

（1）for(int i=1;i<=n;++i) ans+=(n/i*i);

（2）ll fun(ll x)
    {
	ll ans=0;
	for(ll l=1,r;l<=x;l=r+1){
	   r=x/(x/l);
	   ans+=(r-l+1)*(x/l)*(l+r)/2;
	}
    }