并查集

并查集

         并查集是一种简单且强大的工具。本文我们就是学习并介绍一下并查集。并查集的资料网上有很多，也有很多代码实现。博主在学习的过程中也查阅了很多资料，有兴趣的话可以Google之。

         并查集有三个数据结构：

         集合：实际元素组成的集合

         类信息：记录元素的类信息

         秩信息：记录元素的高度

        

         并查集包含三种基本操作：

         Init：初始化，将集合每个元素看做一个类别，元素的类信息即为自身，秩信息都为0

         Find：查找，根据给定的元素，返回其类别信息。在执行查找的过程中进行路径压缩优化，以提高后续Find的效率。

         Union：合并，将两个元素所在的集合进行合并（集合用其中的元素来表示），在合并的过程中同样进行优化，这里的优化方法为按秩合并。秩低的类别归到秩高类别，这样合并后的树的最大高度做多增加1（只有两个集合的秩相等时，才增加1；否则都不增加）。

         下面，我们给出并查集的一种实现。相关说明会在程序注释中解释。

// 并查集
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

const int NUM = 101;

vector<int> data(101);   // 元素集合
vector<int> father(101); // 类别信息
vector<int> mRank(101);   // 秩信息

// 初始化并查集
// 初始化n个元素的集合
void Init(int n)
{
    n = n <= NUM ? n : NUM;
    for (auto i = 0; i != n; ++i)
    {
        data[i] = i + 1;
        father[i] = i;
        mRank[i] = 0;   // 叶子节点高度为0
    }
}

// 查找
// 查找x元素
// 注意，这里的x不是元素的实际值，而是元素的在data中的索引
int Find(int x)
{
    if (x == father[x]) // x为根节点
    {
        return father[x];
    }
    else // x不为根节点
    {
        // return Find(father[x]);          // 直接返回，并没有进行路径压缩优化
        return father[x] = Find(father[x]); // 进行路径压缩优化
    }
}

// 合并
// 合并的是两个集合（类别）
// 两个元素x、y，注意这里x、y不是元素的值，而是其在data中的索引
// 用x、y来表示其所在的集合
// 集合的表示都是用data的索引来表示
// 元素的表示，也都是用data的索引来表示
void Union(int x, int y)
{
    x = Find(x);
    y = Find(y);
    if (x == y) // 属于同一个类别，不合并
    {
        return;
    }
    // 不是同一个类别
    if (mRank[x] > mRank[y]) // 这里的x表示类别，也是节点，rand[x]既是类别的秩也是节点的秩，同理y
    {
        father[y] = x; // 将y类别归到x类别
        // 不对x的秩进行修改
    }
    else
    {
        if (mRank[x] == mRank[y])
        {
            // 由于是将x类别归到y类别，所以对y的秩加1
            ++mRank[y];
        }
        father[x] = y; // 将x类别归到y类别
        // 不对y的秩进行修改，在y的秩大于x的秩的情况下
    }
}

void Display(int n)
{
    for (auto i = 0; i != n; ++i)
    {
        cout << data[i] << '	';
    }
    cout << endl;

    for (auto i = 0; i != n; ++i)
    {
        cout << father[i] << '	';
    }
    cout << endl;

    for (auto i = 0; i != n; ++i)
    {
        cout << mRank[i] << '	';
    }
    cout << endl;
}

int main()
{
    int n = 9;
    Init(n);
    Display(n);

    cout << Find(5) << endl;
    cout << Find(8) << endl;

    Union(5, 8);

    cout << Find(5) << endl;
    cout << Find(8) << endl;

    Union(1, 2);
    Union(1, 3);

    Union(8, 1);

    cout << Find(1) << endl;
    cout << Find(2) << endl;
    cout << Find(3) << endl;
    cout << Find(5) << endl;
    cout << Find(8) << endl;

    Display(n);

    return 0;
}

         

         关于程序的说明可以参考注释。

         这里我们对集合（类别）和元素的表示进行一下说明。Find函数的作用是查找元素x的所属类别，这里的x不是元素的值，而是元素在data中的索引，也就是说元素是用data的索引来表示的。这里我们无法针对元素的秩，进行Find其类别。

         Union函数是合并x和y两个类别，注意，这里的x和y实质上还是data的索引，是用x和y两个元素在data中的索引来表示其各自所属的类别。在Union函数中，x和y有的时候表示元素的索引，有的时候表示类别信息。

         个人认为，理解并查集的关键最在于理解元素的表示、类别的表示、元素的索引，以及三者之间的关系。

         元素的索引用来表示元素。

         元素用来表示其所在的类别，实质上是用元素的索引来表示元素所在的类别。

         后续我们将学习并实现一些经典的数据结构和算法，对数据结构和算法能够一个更深的理解和实现能力。