• 一个抽奖模型的求解


    一个抽奖模型的求解

    2013-06-19

    问题描述:

             有3组数,分别都是 [0-9] 10个数字,从中随机分别各选择1个数字,不分先后顺序,作为开奖结果。开奖结果设定后,从中随机分别各选择1个数字,不分先后顺序,作为抽奖结果。

             如果3个数字与开奖结果完全匹配,则是一等奖;

             如果2个数字与开奖结果匹配,则是二等奖;

             如果1个数字与开奖结果匹配,则是三等奖;

             如果没有任何数字与开奖结果匹配,则不中奖;

             问:1. 开奖结果总共有多少种?

                       2. 一、二、三等奖的概率各是多少?

    求解过程:

             首选计算开奖结果有多少种。从3组 [0-9] 10个数字中各选1个数字,那么有10^3=1000种情况,但是这是有序的情况。这里不考虑顺序,所以对于567与765这样的情况,是一种结果。所以,为了方便处理,我们对开奖结果设定为ABC,A、B、C 3个数字非降序排列。通过进而计算出现开奖结果有多少种。

             先考虑最直观的一种解法:不考虑非降序的情况,对1000中情况进行非降序处理,然后去重,统计个数即为开奖结果的数量。

             程序如下:

    #include <iostream>
    #include <string>
    #include <set>
    #include <algorithm>
    using namespace std;
    
    void foo(string& s, int n, char c = '0')
    {
        if (s.size() >= n)
        {
            return;
        }
        else
        {
            s = string(n-s.size(), c) + s;
        }
    }
    
    int main()
    {
        char s[3];
        string str;
        set<string> ss;
        for (int i = 0; i != 100; ++i)
        {
            itoa(i, s, 10);
            str = s;
            foo(str, 3);
            sort(str.begin(), str.end());
            ss.insert(str);
        }
        for (int i = 100; i != 1000; ++i)
        {
            itoa(i, s, 10);
            str = s;
            sort(str.begin(), str.end());
            ss.insert(str);
        }
        cout << ss.size() << endl;
        system("PAUSE");
        return 0;
    }

      这样是处理了所有的1000个结果,对其排序并去重。有种更为笨拙的方法是,针对每个结果,去扫描前面是否已经出现过,不过这种原来和上面是一样的,只不过上面用了set时间复杂度为O(NlogN),如果逐个扫描的时间复杂度为O(N^2)。

      这两种方法都不太好,考虑到开奖结果是不区分顺序的,所以对于567、576、657、675、756、765这六种结果都可以看做是一种结果567,我们对结果进行非降序处理。处理后的形式为:ABC,其中A<=B<=C。根据非降序的特性,我们可以得到一种更为快捷的方式来计算开奖结果的数量。程序如下:

    //2.cpp
    #include <iostream>
    using namespace std;
    
    int main()
    {
        int total = 0;
        for (int A = 0; A != 10; ++A)
        {
            for (int B = A; B != 10; ++B)
            {
                for (int C = B; C != 10; ++C)
                {
                    ++total;
                }
            }
        }
        cout << total << endl;
        system("PAUSE");
        return 0;
    }

             这种方法是根据非降序的特性得到的结果,时间复杂度为O(N)。

             综上所述,我们知道开奖结果总结有220种结果。

             那么,这220种结果有几种形式呢,注意,这里的220种是非降序处理后的。有以下四种形式:

             AAA

             AAB

             ABB

             ABC

             其中A<B<C。

             四种形式对应的数目分别为:

             AAA:3个数字一样,所以共计有10种

             AAB:9+8+7+…+1+0 = 45种

             ABB:9+8+7+…+1+0 = 45种

             ABC:220-10-45-45 = 120种

             也可由程序计算而得:

    //3.cpp
    #include <iostream>
    using namespace std;
    
    int main()
    {
        int total = 0;
        int aaa = 0;
        int aab = 0;
        int abb = 0;
        int abc = 0;
        for (int A = 0; A != 10; ++A)
        {
            for (int B = A; B != 10; ++B)
            {
                for (int C = B; C != 10; ++C)
                {
                    if (A == B && B == C)
                    {
                        ++aaa;
                    }
                    else if (A == B && B < C)
                    {
                        ++aab;
                    }
                    else if (A < B && B == C)
                    {
                        ++abb;
                    }
                    else // if (A < B && B < C)
                    {
                        ++abc;
                    }
                    ++total;
                }
            }
        }
        cout << total << endl;
        cout << aaa << endl;
        cout << aab << endl;
        cout << abb << endl;
        cout << abc << endl;
        system("PAUSE");
        return 0;
    }

             综上所述,四种情况的种类数如下:

    AAA

    10

    AAB

    45

    ABB

    45

    ABC

    120

             现在我们计算一等奖的概率,讨论一等奖的概率需要分为以上四种情况。

    1)  AAA

    这种情况只有AAA这种形式,所以中一等奖的概率为 1/1000

    2)  AAB

    这种情况有AAB、ABA、BAA三种形式,中一等奖的概率为3/1000

    3)  ABB

    这种情况有ABB、BAB、BBA三种形式,中一等奖的概率为3/1000

    4)  ABC

    这种情况有ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA六种形式,中一等奖的概率为6/1000

             所以,根据全概率公式得到一等奖的概率为:

             P(一等奖) = P(AAA)*P(一等奖|AAA) + P(AAB)*P(一等奖|AAB) + P(ABB)*P(一等奖|ABB) +

     P(ABC)*P(一等奖|ABC)

                                 = 10/1000*1/1000 + 135/1000*3/1000 + 135/1000*3/1000 + 720/1000*6/1000

                                 = 0.00514

             二等奖的概率

    1)  AAA

    中二等奖既是匹配2个数字,所以抽检的结果只能是AAX这种,其中X!=A,所以概率为3*9/1000=27/1000

    2)  AAB

    a)    AAA 这种情况有1种

    b)    AAX 这种情况有3*8种

    c)    ABB 这种情况有3种

    d)    ABX 这种情况有6*8种(X != A, X!= B)

    所以,概率为76/1000

    3)  ABB

    a)  BBB 这种情况有1种

    b)  XBB 这种情况有3*8种

    c)  AAB 这种情况有3种

    d)  ABX 这种情况有6*8种

    所以,概率为76/1000

    4)  ABC

    a)         ABA 这种情况有3种

    b)         ABB 这种情况有3种

    c)         ABX 这种情况有6*7种

    d)         ACA 这种情况有3种

    e)         ACC 这种情况有3种

    f)          ACX 这种情况有6*7种

    g)         BCB 这种情况有3种

    h)         BCC 这种情况有3种

    i)           BCX 这种情况有6*7种

    所以,概率为144/1000

    所以,根据全概率公式得到二等奖的概率为:

    P(二等奖) = P(AAA)*P(二等奖|AAA) + P(AAB)*P(二等奖|AAB) + P(ABB)*P(二等奖|ABB) +

    P(ABC)*P(二等奖|ABC)

                                 = 10/1000*27/1000 + 135/1000*76/1000 + 135/1000*76/1000 +

     720/1000*144/1000

                                 = 0.12447

             三等奖的概率

    1)  AAA

    a)         AXX:3*9=27种情况

    b)         AXY:6*36=216种情况,或3*72=216种情况

                       所以,概率为243/1000

    2)  AAB

    a)         BBB:1种情况

    b)         AXX:3*8=24种情况

    c)         BBX:3*8=24种情况※

    d)         BXX:3*8=24种情况

    e)         AXY:6*28=168种情况,或3*56=168种情况

    f)          BXY:6*28=168种情况,或3*56=168种情况

    所以, 概率为409/1000

    3)  ABB

    a)         AAA:1种情况

    b)         AAX:3*8=24种情况※

    c)         AXX:3*8=24种情况

    d)         BXX:3*8=24种情况

    e)         AXY:6*28=168种情况,或3*56=168种情况

    f)          BXY:6*28=168种情况,或3*56=168种情况

    所以,概率为409/1000

    4)  ABC

    a)         AAA:1种情况

    b)         AAX:3*7=21种情况※

    c)         BBB:1种情况

    d)         BBX:3*7=21种情况※

    e)         CCC:1种情况

    f)          CCX:3*7=21种情况※

    g)         AXX:3*7=21种情况

    h)         BXX:3*7=21种情况

    i)           CXX:3*7=21种情况

    j)           AXY:6*21=126种情况,或3*42=126种情况

    k)         BXY:6*21=126种情况,或3*42=126种情况

    l)           CXY:6*21=126种情况,或3*42=126种情况

    所以,概率为507/1000

    所以,根据全概率公式得到三等奖的概率为:

    P(三等奖) = P(AAA)*P(三等奖|AAA) + P(AAB)*P(三等奖|AAB) + P(ABB)*P(三等奖|ABB) +

    P(ABC)*P(三等奖|ABC)

                           = 10/1000*243/1000 + 135/1000*409/1000 + 135/1000*409/1000 +

    720/1000*507/1000

                                = 0.4779

             不中奖的概率

             P(不中奖)= 1 – P(一等奖)– P(二等奖)– P(三等奖)

                                   = 1 - 0.00514 - 0.12447 - 0.4779

                   = 0.39249

             从四种情况讨论不中奖的概率:

    1)  AAA

    a)         XXX:9种情况

    b)         XXY:3*36=108种情况

    c)         XYY:3*36=108种情况

    或者b、c合并:9*8*3=216种情况

    d)         XYZ:9*8*7=504种情况

    所以,概率为729/1000,另一个角度为:9/10*9/10*9/10=729/1000

    2)  AAB

    8/10*8/10*8/10=512/1000

    a)         XXX:8种情况

    b)         XXY:3*28=84种情况

    c)         XYY:3*28=84种情况

    或者b、c合并:8*7*3=168种情况

    d)         XYZ:8*7*6=336种情况

    所以,概率为512/1000

    3)  ABB

    8/10*8/10*8/10=512/1000

    a)         XXX:8种情况

    b)         XXY:3*28=84种情况

    c)         XYY:3*28=84种情况

    或者b、c合并:8*7*3=168种情况

    d)         XYZ:8*7*6=336种情况

    所以,概率为512/1000

    4)  ABC

    7/10*7/10*7/10=343/1000

    a)         XXX:7种情况

    b)         XXY:3*21=63种情况

    c)         XYY:3*21=63种情况

    或者b、c合并:7*6*3=126种情况

    d)         XYZ:7*6*5=210种情况

    所以,概率为343种情况

    所以,根据全概率公式得到不中奖的概率为:

    P(不中奖) = P(AAA)*P(不中奖|AAA) + P(AAB)*P(不中奖|AAB) + P(ABB)*P(不中奖|ABB) +

    P(ABC)*P(不中奖|ABC)

                           = 10/1000*729/1000 + 135/1000*512/1000 + 135/1000*512/1000 +

    720/1000*343/1000

                                = 0.39249

             综上所述,针对未中奖的概率通过两种方法得到的概率是一致的。这也就证明了我们关于一、二、三等奖的计算是正确的。

    奖项

    概率

    一等奖

    0.00514

    二等奖

    0.12447

    三等奖

    0.4779

    未中奖

    0.39249

    后记:下一步进一步讨论如下方面

    1. 如何判断中奖,即如何判断匹配的数字数及具体匹配了哪些数字

    2. 以上讨论的是3位的抽奖情况,针对N位的情况怎么办,针对N位的情况,如果得到一个开奖结果的汇总(递归实现?)

    (完)

     

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