最大子数组和问题

（一）最大字数组和问题

　　问题：给定n个整数（可能为负数）组成的序列a[1],a[2]…a[n]，求该序列a[i],a[i+1]…a[j]的子段和的最大值。当所给整数均为负数的时候，定义子段和为0.《百度百科》

• 分析

　　显然问题可以在O(n^{2)的时间复杂度上解决，但是考虑到当n很大(比如1e}9)时，O(n^{2)的时间复杂度并不能完美的解决这个问题。因此我们是否可以对O(n}2)的代码进行优化呢？答案是肯定的。
　　不妨设，a[i],a[i+1]...a[j]已经是所求最大子数组和的部分前缀并且已知和为sum且当前最大子数组和为maxx，继续考虑a[j+1]的情况，如果sum加上a[j+1]可以使和sum大于a[j+1]，则更新sum的值为sum + a[i]反之更新sum的值为a[i]。由此我们可以得到递推公式

sum = max(sum + a[i], a[i])

　　当sum的值大于已知最大字数组和maxx的时候更新maxx即可。

• Python代码

import math

def fun(arr):
    n = len(arr)
    if n <= 0:
        return 0
    sum = 0
    maxx = 0
    
    for i in range(0, n):
        sum = max(sum + arr[i], arr[i])
        if sum >= maxx:
            maxx = sum
            
    return maxx

　　代码地址

• 流程图

• 单元测试

　　接下来我们使用单元测试来测试一下代码，一下是单元测试代码：

import my_math, unittest

arr0 = []
arr1 = [-1, -2, -3, -4]
arr2 = [-2, 11, -4, 13, -2, -5]

class ProductTestCase(unittest.TestCase):
    def test0(self):
        p = my_math.fun(arr0)
        self.assertEqual(0, p, 'Worng Answer!')
    
    def test1(self):
        p = my_math.fun(arr1)
        self.assertEqual(0, p, 'Worng Answer!')
    
    def test2(self):
        p = my_math.fun(arr2)
        self.assertEqual(20, p, 'Worng Answer!')
        
if __name__=='__main__': unittest.main()

　　本测试代码实现了条件覆盖，样例数组arr0为空测试数组长度小于等于0的情况(实际小于0的情况不存在)，arr1数组测试数组值全为负数时返回最大子数组和为0，arr2数组可以测试sum>=maxx的两个条件。测试代码结果如下：