FFT快速傅里叶变换算法

1、FFT算法概要：

 FFT（Fast Fourier Transformation）是离散傅氏变换（DFT）的快速算法。即为快速傅氏变换。它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。

2、FFT算法原理：

离散傅里叶变换DFT公式：

 

FFT算法(Butterfly算法)

        设x(n)为N项的复数序列，由DFT变换，任一X（m）的计算都需要N次复数乘法和N-1次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法，一次复数加法等于两次实数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出N项复数序列的X（m）,即N点DFT变换大约就需要N^2次运算。当N=1024点甚至更多的时候，需要N2=1048576次运算，在FFT中，利用WN的周期性和对称性，把一个N项序列（设N=2k,k为正整数），分为两个N/2项的子序列，每个N/2点DFT变换需要（N/2）2次运算，再用N次运算把两个N/2点的DFT变换组合成一个N点的DFT变换。这样变换以后，总的运算次数就变成N+2*（N/2)^2=N+（N^2）/2。继续上面的例子，N=1024时，总的运算次数就变成了525312次，节省了大约50%的运算量。而如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去，直到分成两两一组的DFT运算单元，那么N点的DFT变换就只需要N/2log2N次的运算，N在1024点时，运算量仅有5120次，是先前的直接算法的近1/200，点数越多，运算量的节约就越大，这就是FFT的优越性。

3、FFT算法官方实现：

       

搭建FFTW库并生成所需要的lib文件：

Step1：从官网下载对应的.zip文件，例如我是win10_x86的操作系统，下载64bit的安装包：

Step2：下载完成之后解压到你希望安装的FFTW库的位置

Step3：打开CMD命令操作行，切换到Step2中的安装目录下，执行下面的指令代码生成.lib文件(需要安装Visual Studio，用VC++中的lib命令生成系统能够使用的.lib文件)

  打开的方式为，按下window键，输入vs，小娜会自动帮你查找对应的File。

   切换到对应的路径之后就可以使用lib命令来生成.lib文件了：

lib /def:libfftw3-3.def
lib /def:libfftw3f-3.def
lib /def:libfftw3l-3.def

  查看对应的目录，我们就能看到生成的.lib文件：

 

在工程中使用FFTW库

首先在VS2017中创建一个工程命名为FFTW_Test

FFTW_Test.cpp文件内容如下：

#include <stdio.h>
#include <iostream>

#include "fftw3.h"
#pragma comment(lib, "libfftw3-3.lib")

using namespace std;

int main(void)
{
    /*
    *fftw_complex 是FFTW自定义的复数类
    *引入<complex>则会使用STL的复数类
    */
    fftw_complex x[5];
    fftw_complex y[5];

    for (int i = 0; i < 5; i++) {
        x[i][REAL] = i;
        x[i][IMAG] = 0;
    }

    //定义plan，包含序列长度、输入序列、输出序列、变换方向、变换模式
    fftw_plan plan = fftw_plan_dft_1d(5, x, y, FFTW_FORWARD, FFTW_ESTIMATE);

    //对于每个plan，应当"一次定义 多次使用"，同一plan的运算速度极快
    fftw_execute(plan);

    for (int i = 0; i < 5; i++) {
        cout << y[i][REAL] << "  " << y[i][IMAG] << endl;
    }

    //销毁plan
    fftw_destroy_plan(plan);      
}

将FFTW相关的库文件拷贝到FFTW_Test工程目录下，拷贝的位置需要和FFTW_Test.cpp在同一个目录当中！

拷贝的文件如下图所示(只需要将FFTW安装目录下的这三个文件拷贝过去即可)：

程序运行结果：

参考资料

• 官方网址：http://www.fftw.org/
• 官方下载：http://www.fftw.org/download.html
• 其他参考：https://blog.csdn.net/cyh706510441/article/details/46676123

4、FFT算法C/C++/Python代码：

Code1(DFT)：

char DFT_Alg(float *Signal, float *Fre, int L)
{
    long long i,j;
    float real, imag, coff1, coff2;
    coff1 = -2*pi/L;
    for(i=0;i<L;i++){
        for(j=0;j<L;j++){
            coff2 = coff1*i*j;
            real += Signal[j]*cos(coff2);
            imag += Signal[j]*sin(coff2);
        }
        printf("Processing:%d
",i);
        Fre[i] = real*real + imag*imag;
    }
    return 1;
}

Code2(FFT)：

typedef float FFT_TYPE;

#ifndef PI
    #define PI (3.14159265f)
#endif

typedef struct complex_st {
    FFT_TYPE real;
    FFT_TYPE img;
} complex;

static void BitReverse(complex *x, complex *r, int n, int l)
{
    int i = 0;
    int j = 0;
    short stk = 0;
    static complex *temp = 0;

    temp = (complex *)malloc(sizeof(complex) * n);
    if (!temp) {
        return;
    }

    for(i=0; i<n; i++) {
        stk = 0;
        j = 0;
        do {
            stk |= (i>>(j++)) & 0x01;
            if(j<l)
            {
                stk <<= 1;
            }
        }while(j<l);

        if(stk < n) {             /* 满足倒位序输出 */
            temp[stk] = x[i];
        }
    }
    /* copy @temp to @r */
    for (i=0; i<n; i++) {
        r[i] = temp[i];
    }
    free(temp);
}

int fft(complex *x, int N)
{
    int i,j,l,ip;
    static int M = 0;
    static int le,le2;
    static FFT_TYPE sR,sI,tR,tI,uR,uI;

    M = (int)(log(N) / log(2));

    BitReverse(x,x,N,M);

    for (l=1; l<=M; l++) {
        le = (int)pow(2,l);
        le2 = (int)(le / 2);
        uR = 1;
        uI = 0;
        sR = cos(PI / le2);
        sI = -sin(PI / le2);
        for (j=1; j<=le2; j++) {
            //jm1 = j - 1;
            for (i=j-1; i<=N-1; i+=le) {
                ip = i + le2;
                tR = x[ip].real * uR - x[ip].img * uI;
                tI = x[ip].real * uI + x[ip].img * uR;
                x[ip].real = x[i].real - tR;
                x[ip].img = x[i].img - tI;
                x[i].real += tR;
                x[i].img += tI;
            }
            tR = uR;
            uR = tR * sR - uI * sI;
            uI = tR * sI + uI *sR;
        }
    }
    return 0;
}
int ifft(complex *x, int N)
{
    int k = 0;
    for (k=0; k<=N-1; k++) {
        x[k].img = -x[k].img;
    }
    fft(x, N);    /* using FFT */
    for (k=0; k<=N-1; k++) {
        x[k].real = x[k].real / N;
        x[k].img = -x[k].img / N;
    }
    return 0;
}

Code3(DFT-Python)：

def DFT(x):
    """
    Input:
        x (numpy array) = input sequence of length N
    Output:
        The function should return a numpy array of length N
        X (numpy array) = The N point DFT of the input sequence x
    """
    N = len(x)
    real = np.zeros(N)
    imag = np.zeros(N)
    for i in range(N):
        for j in range(N):
            real[i] += x[j]*np.cos(-2*np.pi*i*j/N)
            imag[i] += x[j]*np.sin(-2*np.pi*i*j/N)
    Res = 1j*imag + real
    return Res
def IDFT(X):
    """
    Input:
        X (numpy array) = frequency spectrum (length N)
    Output:
        The function should return a numpy array of length N 
        x (numpy array) = The N point IDFT of the frequency spectrum X
    """
    N = len(X)
    real = np.zeros(N)
    imag = np.zeros(N)
    for i in range(N):
        for k in range(N):
            param1 = X[k].real
            param2 = X[k].imag
            sin = np.sin(2*np.pi*i*k/N)
            cos = np.cos(2*np.pi*i*k/N)
            real[i] += param1*cos-param2*sin
            imag[i] += param1*sin+param2*cos
    Res = 1j*imag/N + real/N
    return Res

5、多种平台的FFT算法移植：

未完待续