• 扩展GCD学习笔记


    原理

    //一般gcd
    ll gcd(ll a,ll b){
        return b==0?a:gcd(b,a%b);
    }
    

    当递归得到b=0时,得到gcd(a,b)=a,因此方程变为ax+0y=a,此时x=1,y=0是方程的一组特解

    模板

    void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    	if(b==0) x=1,y=0;
    	else{
    		exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
    	}
    }
    

    例题

    P5656 解二元一次不定方程

    题意:

    给定不定方程

    ax+by=c

    若该方程无整数解,输出 -1
    若该方程有整数解,且有正整数解,则输出其正整数解的数量,所有正整数解中 x 的最小值,所有正整数解中 y的最小值,所有正整数解中 x 的最大值,以及所有正整数解中 y的最大值
    若方程有整数解,但没有正整数解,你需要输出所有整数解中 x 的最小正整数值, y 的最小正整数值

    解法:

    用exgcd求出特解(x_0,y_0),该方程的通解为(x=x_0+frac{b}{g}t,y=y_0-frac{a}{g}t),求出x的最小正整数解,若此时y<=0,则方程有正整数解,否则无正整数解。

    代码:

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
    	if(b==0) x=1,y=0;
    	else{
    		exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
    	}
    }
    int main (){
        int T;
        scanf("%d",&T);
        while(T--){
            ll a,b,c;
            scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
            ll g=__gcd(a,b);
            if(c%g!=0){
                printf("-1
    ");
                continue;
            }
            ll x,y;
            exgcd(a,b,x,y);
            x*=c/g,y*=c/g;
            ll xmin,xmax,ymin,ymax;
            ll xadd=b/g,yadd=a/g;
            if(x<0){
                xmin=x+xadd*((-x)/xadd+1);
            }
            else{
                xmin=x-xadd*((x-1)/xadd);
            }
            if(y<0){
                ymin=y+yadd*((-y)/yadd+1);
            }
            else{
                ymin=y-yadd*((y-1)/yadd);
            }
            xmax=(c-b*ymin)/a;
            ymax=(c-a*xmin)/b;
            ll num=(xmax-xmin)/xadd+1;
            if(ymax<=0){
                printf("%lld %lld
    ",xmin,ymin);
            }
            else{
                printf("%lld %lld %lld %lld %lld
    ",num,xmin,ymin,xmax,ymax);
            }
        }
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/ucprer/p/13364935.html
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