[模板] 2-SAT 问题

简介

2-SAT (2-satisfiability) 问题形如:

1. 给定一些变量 (x_i in {true, false});
2. 给定一些一元/二元约束条件, 如 (x_i land lnot x_j), 利用 (land) 连接;
3. 为每一个变量赋一个值, 满足所有约束条件.

将第2条中的一/二元约束条件改为多元, 即为 N-SAT 问题.

可以证明 N-SAT 问题没有多项式解法, 但 2-SAT 问题有 (O(n + m)) 的解法.

算法

对每个变量建立两个点: (x_i), (x_i'), 表示取真或假.

根据约束条件建立若干条边 ((p, q)), 表示若选 (p) 则必须选 (q). (见下)

将得到的图缩点. 若 (x_i) 和 (x_i') 在同一个强连通分量内, 则无解.

否则, 若 (x_i) 的所在强连通分量的拓扑序大于 (x_i'), 则选 (x_i); 否则选 (x_i').

我们知道tarjan算法求出的强连通分量标号为强连通分量拓扑序的逆序. 因此判断 (scc_{x_i} < scc_{x_i'}) 即可.

建边

1. 一元逻辑
   1. (p): ((p', p));
   2. (lnot p): ((p, p')).
2. 二元逻辑 ((p) 和 (lnot p) 是一样的, 下面仅描述 (p) 的情况)
   1. (p ightarrow q): ((p, q)), ((q', p'));
   2. (p land q): 等价于 (p), (q);
   3. (p lor q): ((p', q)), ((q', p)) (等价于 (lnot p ightarrow q));
   4. (p oplus q): ((p, q')), ((p', q)), ((q, p')), ((q', p)). (xor)

容易发现所有二元逻辑都会建立若干对边, 这称作2-SAT问题的对称性, 是算法正确的关键.

较慢的算法 && 字典序最小解

我们还可以枚举每个点, 然后假设其为 true (或者 false), 从该点dfs判断是否可行.

这样可以求出一些特殊条件的解, 如最小字典序.

时间复杂度 (O(nm)), 但是多数情况跑不满.

代码

//任意解
int chos[nsz];
int dfn[nsz*2],pd=0,low[nsz*2],inscc[nsz*2],ps=0;
int stk[nsz*2],top=0,vi[nsz*2];
void tarj(int p){
	dfn[p]=low[p]=++pd;
	stk[++top]=p,vi[p]=1;
	for(auto v:edge[p]){
		if(dfn[v]==0){
			tarj(v);
			low[p]=min(low[p],low[v]);
		}
		else if(vi[v])low[p]=min(low[p],dfn[v]);
	}
	if(low[p]==dfn[p]){//scc
		++ps;
		int v;
		do{
			v=stk[top];
			inscc[v]=ps,vi[v]=0,--top;
		}while(v!=p);
	}
}

bool sat2(){//toefl ielts sat
	rep(i,2,n*2+1)if(dfn[i]==0)tarj(i);
	rep(i,1,n){
		if(inscc[i<<1]==inscc[i<<1|1])return 0;//no solution
		chos[i]=inscc[i<<1|1]<inscc[i<<1];
	}
	return 1;
}