最大权闭合子图

首先有 推荐阅读。

---

定义

一个有向图， 每个点有点权 w_i（可负）， 要找到其一个子图， 满足：

1. 对于原图中所有边 (u,v)， 若点 u 在子图中， 则点 v 在子图中

2. 子图的点权和最大

sol

新建一个网络图：

对于原图中的点， 若 w_i > 0, 连边 (S, i, w_i)， 若 w_i < 0， 连边 (i,T,-w_i)， 若 w_i=0， 不做任何事。

对于原图中的边 (u,v)， 连边 (u,v,+∞)。

答案就是 原图所有正点权之和 - 网络图最小割

证明：

参见 最小割模型在信息学竞赛中的应用

或：

回忆最小割的理解：…………把所有点 分成两个集合 S，T， 最小化……(balabala)…………

回到那个网络图， 考虑把 “选” 看成和 S 在一个集合里， 把 “不选” 看成和 T 在一个集合里， 最小割的值是 “将物品分为选和不选损失的最小代价”。

那么对于 S 到正权物品的边，可以看成 “不选这个物品就要损失这个正权物品的权值”；

对于负权物品到 T 的边， 可以看成 “选这个物品就要损失这个负权物品的相反数”。

对于一个点对 (u,v)， 若在原图的联通关系中， 选了 u 就必须选 v， 在这个网络图中很好体现， 具体地， 选了 u， 即 (S,u) 未断开， 即 (v,T) 必须断开， 即 (S,v) 不需要断开。（由于一句话里混了很多情况， 这里叙述的比较粗）