关于fisher判别的一点理解

    最近一个朋友问这方面的一些问题，其实之前也就很粗略的看了下fisher，真正帮别人解答问题的时候才知道原来自己也有很多东西不懂。下面小结下自己对fisher判别的理解：

    其实fisher和PCA差不多，熟悉PCA的人都知道，PCA其实就是在寻找一个子空间。这个空间怎么来的呢，先求协方差矩阵，然后求这个协方差矩阵的特征空间（特征向量对应的空间），选取最大的特征值对应的特征向量组成特征子空间（比如说k个，相当于这个子空间有k维，每一维代表一个特征，这k个特征基本上可以涵盖90%以上的信息）。那么我们把样本投影在这个子空间，原来那么多维的信息就可以用这k维的信息代替了，也就是说降维了。至于PCA为啥要用求协方差矩阵然后求特征子空间的方法，这个数学上有证明，记得在某篇文章上看过，有兴趣的可以找找，看看证明。

    那么fisher空间又是怎么一回事呢，其实fisher判别和PCA是在做类似的一件事，都是在找子空间。不同的是,PCA是找一个低维的子空间，样本投影在这个空间基本不丢失信息。而fisher是寻找这样的一个空间，样本投影在这个空间上，类内距离最小，类间距离最大。那么怎么求这个空间呢，类似于PCA，求最大特征值对应的特征向量组成的空间。  当我们取最大几个特征值对应的特征向量组成特征空间时（这里指出，最佳投影轴的个数d<=c-1，这里c是类别数），最佳投影矩阵如下：

                                             

    其实在文章Eigenfaces vs Fisherfaces ：recognition using class specific linear projection中给出了PCA和LDA比较直观的解释，文中对一个二维的数据进行分析,PCA和LDA都是把二维数据降到一个一维空间，那么其实PCA使得数据投影在这个一维空间总的离散度最大，我的理解是这样的，如果数据在某一维上比较离散，说明这维特征对数据的影响比较大，也就是说这维特征是主成分。而LDA呢，数据投影在这个空间，类内离散度最小，类间离散度最大，数据变得线性可分，如文中所说：

                                                    

    假设我们给定C类样本，我们先求sw（类内离散度）和sb（类间离散度），如下所示：

                       

    那么样本投影在新的投影空间中类间离散度为：

                                                                                      

   样本投影在新的投影空间中类内离散度为：

                                                                                         

    那么只要我们最大化就可以使得样本投影在这个空间上类内离散度最小，类间离散度最大，其中，w就是我们要找的投影方向。但是问题就来了，如果sw是一个奇异矩阵，那么这个式子是求不出来的。所以就有高人想到用这个式子代替：

                                                                 

    这里的B是一个权衡因子，权衡类间距离和类内距离谁的比重大，试验中可以根据需要调节。也就是说，只要我们可以根据梯度下降法迭代w，使得最大化，这个w就是我们所要求的最好的投影方向。在fisher中最大特征值对应的特征向量就是最佳投影方向，如果我们取最大k个特征值对应的特征向量作为投影方向，那么最终样本就投影到了这样的一个k维子空间，在这个子空间里面类内最小，类间最大。

                     

    另外还有一种方法来解决sw的奇异性引起的问题，比如如果我们试验中处理的数据时人脸图片，由于人脸图片之间相关性很大，所以sw很容易就是一个奇异矩阵，但是如果我们先用PCA对样本进行降维，去掉相关性，那么这样我们再用LDA就不会遇到sw奇异性的为题了，实际中这种方法也是很常用的，在用LDA的时候往往先使用PCA降维。

    好了，下面来给出fisher的一个简单的matlab代码：

    main.m

clear; clc;
%定义两类样本的空间范围
x1min=2;x1max=6;
y1min=-4,y1max=0;
x2min=6,x2max=10;
y2min=2,y2max=6;
%产生两类2D空间的样本
c1=createSwatch(x1min,x1max,y1min,y1max,100);
c2=createSwatch(x2min,x2max,y2min,y2max,80);
%获取最佳投影方向
w=fisher_w(c1,c2);
%计算将样本投影到最佳方向上以后的新坐标
cm1=c1(1,:)*w(1)+c1(2,:)*w(2);
cm2=c2(1,:)*w(1)+c2(2,:)*w(2);
cc1=[w(1)*cm1;w(2)*cm1];
cc2=[w(1)*cm2;w(2)*cm2];
%打开图形窗口
figure;
%绘制多图
hold on;
%绘制第一类的样本
plot(c1(1,:),c1(2,:),'rp');
%绘制第二类的样本
plot(c2(1,:),c2(2,:),'bp');
%绘制第一类样本投影到最佳方向上的点
plot(cc1(1,:),cc1(2,:),'r+');
%绘制第二类样本投影到最佳方向上的点
plot(cc2(1,:),cc2(2,:),'b+');
w=10*w;
%画出最佳方向
line([-w(1),w(1)],[-w(2),w(2)],'color','k');
axis([-10,10,-10,10]);
grid on;
hold off;

fisher_w.m

function w = fisher_w(c1,c2)
%利用Fisher准则函数确定最佳投影方向
%c1和c2分别为两类样本的样本矩阵
%得到样本矩阵的尺寸信息
%样本矩阵的行数代表样本的维数
%样本矩阵的列数代表样本的个数
    size1=size(c1);
    size2=size(c2);
    %计算两类样本的均值向量
    m1=sum(c1,2)/size1(2);
    m2=sum(c2,2)/size2(2);
    %样本向量减去均值向量
    c1=c1-m1(:,ones(1,size1(2)));
    c2=c2-m2(:,ones(1,size2(2)));
    %计算各类的类内离散度矩阵
    S1=c1*c1.';
    S2=c2*c2.';
    %计算总类内离散度矩阵
    Sw=S1+S2;
    %计算最佳投影方向向量
    w=Sw^-1*(m1-m2);
    %将向量长度变成1
    w=w/sqrt(sum(w.^2));
end

createSwatch.m

function swatch=createSwatch(xmin,xmax,ymin,ymax,num,varargin)

xlen = abs(xmax - xmin);
ylen = abs(ymax - ymin);

if numel(varargin)>0 && isa(varargin{1},'function_handle')
    f = varargin{1};
else
    f = @rand;
end
swatch=[xlen*f(1,num)+min(xmax,xmin);ylen*f(1,num)+min(ymax,ymin)];

end

实验效果如下：