最近把以前的几篇关于Low-rank的文章重新看了一遍，由于之前的一些积累，重新看一遍感觉收获颇多。写这篇博文的时候也参考了一些网上的博客，其中数这篇博文最为经典http://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/8572994。Rachel-zhang这个博客牛人，相信搞CV的都不陌生吧，研究生期间能有这么多积累确实难得，能把自己所学一点一滴的记录下来，这就更不容易了。科研无止境，希望以后我的博客也能像各位前辈一样，越写越好。如有人读了我的博客感觉受益匪浅，那就更是我莫大的荣幸了。好了闲话不说，还是来摆摆今天的几篇文章吧。
第一篇：RASL: Robust Alignment by Sparse and Low-rank Decomposition for Linearly Correlated Images ，这是我接触Low-rank的第一篇文章，文章利用Low-rank的算法进行图片的对齐（Alignment）同时还可以有效的去遮挡，从实验的效果来看，算法的对齐效果和去遮挡效果还是很好的。不过这种算法只能对批量的图片进行处理，不能对单张图片处理，这也局限了它的应用场景，下面我来简单的介绍下文章的实现过程。
首先矩阵里面秩的概念相信大家都很熟悉，假设给定我们同一个人的10张图片，如果这10张图片表情，光照，人脸的偏斜角度都是一模一样的，并且没有受到任何噪声的干扰没有任何的遮挡。那么把这10张图片拉成列构成一个矩阵，理想的角度来讲，这个矩阵的秩应该是1，我们可以认为这10张图片是完全对齐的的。如果这10张图片中只有少数图片不是对齐的，被遮挡了，位置偏移了或者受到了光照的影响，那么把这10张图片放在一起构成的矩阵，矩阵的秩肯定就不为1。如果这10张人脸的图片，相互的差异都非常大，那么把它们放在一起构成的矩阵，秩就可能是满纸的。从这个角度来说，我们可以认为low-rank是图片对齐的一种数学上的表示。由于实际情况中，对齐的图片不可能完全一样，所以不可能为1，但是我们可以放宽条件，当样本所组成的矩阵，秩比较小时，可以认为样本对齐的效果是比较好的。这就是文章的主要数学思想，貌似很简单是吧，不过要实现却不是那么容易，其中涉及到了大量的数学运算。
由于实际情况中，我们处理的样本都会引入噪声，样本本身也可能有一些遮挡，所以这里我们引入一个误差E。
其中
是一个low-rank的矩阵，也就是说A可视化的样本是对齐好的，
，
, 矩阵E是误差，由于图片中噪声或者遮挡区域只占很少一部分，所以我们可以认为矩阵E是稀疏的。也就是说对于一类训练样本，我们拉成列组成矩阵D后，D可以分解为一个low-rank的矩阵A和误差矩阵E。这样我们可以认为A是对齐好了的矩阵，E是一个稀疏的误差矩阵。那么接下来的问题就是，怎么才能完成这样的一个分解，得到我们想要的对齐矩阵A呢？
首先我们把矩阵D到A+E看成是通过一种变换得到的，那么上式就可以写成这样：
。其中
是一种变换，通过这种变换，D可以转换为A+E，使得A的秩非常小，E非常稀疏。于是问题就转化为求解这样一个最小化问题：
矩阵D是已经给定的了，需要找到这样的一个变换
，使得rank（A）足够小，误差矩阵E足够稀疏。试验中
的初始值我们可以给定，通过不断的迭代来修正
，从而求出A和E。但是问题就来了，这个式子是“非凸的”，我们找不到其求解办法。于是我们采用近似求解，也就是所谓的“凸松弛”。利用求nuclear norm代替求rank(A)，利用求1-norm来代替求0-norm，并且引入parameter
来均衡A的低秩性和E的稀疏性，至于参数
的取值大小可以参考马毅的那篇文章：Robust Principal Component Analysis。于是问题就变成了下面这样：
这个式子的求解难点在于限制条件
的非线性。但是如果每次
的增加都非常的小，我们就可以认为限制条件是线性的，上式就可以写成这样：
其中
是一个雅克比行列式，上式的得来其实就是泰勒级数展开的前两项。那么我们最终的优化式子就变成了这样：
剩下的工作就是如何来求解这样的一个公式，找出最好的A和E了。文中介绍了两种种算法，以及完整的数学证明（证明去看原文），这里我就直接粘贴下来：
Algorithm 1 是针对
的，Algorithm 2是针对
的。用这两种算法，我们就可以找到想要求解的A和E了。下面我们来看一下利用这样的低秩算法处理图片对齐的效果：
从图中可以看出对于x和y方向偏离0~0.4距离内，算法能很好的对齐，对偏移角度0~60°内，算法也能很好的对齐。
下面是对没有遮挡，关照角度变化较大情况的处理情况：
下面是对dummy head的处理效果，可以看出对去遮挡的效果还是很好的
下面是对自然图片的处理情况：
可以看出算法的实验效果是非常好的，其应用场景也是非常的广泛，可用于图像矫正与去噪，图像标签精华，文本分析，音乐词曲分离等场景。
第二篇：TILT: Transform Invariant Low-rank Texture，这篇文章的主要贡献是提出了一种从2D图像中提取3D结构的方法从而对图片进行矫正。其主要思想是：对于未加旋转的图像，由于图像的对称性与自相似性，我们可以将其看做是一个带噪声的低秩矩阵。当图像由端正发生旋转时，图像的对称性和规律性就会被破坏，也就是说各行像素间的线性相关性被破坏，因此矩阵的秩就会增加。低秩纹理映射算法(TILT)是一种用低秩性与噪声的稀疏性进行低秩纹理恢复的算法。它的思想是通过几何变换τ把D所代表的图像区域校正成正则的区域，如具有横平竖直、对称等特性，这些特性可以通过低秩性来进行刻画。
对于单张图片，比如说一张歪了的人脸，怎样才能矫正它让它左右对称，变得规整（也就是我要说的“正则”）呢。传统的方法是提取一种invariant feature（如SIFT），然后利用特征找出图中突出的地方（如人眼，鼻子，嘴角），然后利用这些points/regions来矫正图片，但是这种方法很不鲁棒，对光照，遮挡比较敏感。并且，严格来说，并不曾存在invariant feature under projective transformations or homographies。于是本文提出了一种，不经过任何仿射变换或者投影变换从2D图片中提取一种3D结构的方法，对图片进行“正则化”。上一篇文章提出的RASL算法能很好的对图片进行矫正对齐，去遮挡，去光照。但是这种算法的局限在于只能对批量的同类图片进行处理，对于单独的一张非“正则”的图片，RASL算法是无法处理的。那么有没有算法能解决这个问题，对单张“非正则”的图片进行对齐矫正呢？本文的出现就是要解决这样的一个问题，首先文章提出来一种“Low-rank Textures”的概念。
在这种“Low-rank Textures”的概念下，如果一张图片是“正则”的，那么这张图片的矩阵就具备“Low-rank Textures”性质，否则就不具备“Low-rank Textures”的性质。确定了这点，我们只需利用凸优化算法，是给定的图片具备Low-rank Textures，我们便完成了对这正图片的矫正了。那么这种概率是什么样的呢，这里我还没看懂，直接贴出原文：
在这种“Low-rank Textures”概念下，vertical和horizontal和slope可以看成秩1texture，corner可以看成秩2的texture，如下图所示：
a图是input image，处理前rank = 11， 处理后rank = 1. b和f一样，处理后变成了一个Corner，rank = 2。那么给定一张“非正则”的图片，怎么才能recovery the Low-rank Texture呢？ 给定一张图片
，我们可以把它看成是它的“Low-rank Textures”图片经过变换得到的
。在文中，我们可以认为变换
是仿射变换或者单应性变换。也就是说我们所看到的非“非正则”图片，可以看成是“正则”图经过这两种变化得到的，所以非低秩。由于噪声和遮挡的影响，我们引入误差矩阵E，于是
求解这样的“Low-rank Textures”矩阵就变成了解下面这个式子：
剩下的就和文章一如出一辙了，在此我就不多讲了，本文和上文最大的不同就是提出来一种“Low-rank Textures”概念，对单张图片进行低秩处理，进行矫正。算法直接贴下：
下面展示实验的效果：
从图中可以看出，此算法能很好的矫正单张图片，文章也提供的代码。本人跑过代码，效果还是可以的，但有时候矫正效果也不如传统的方法，如人脸对齐中的仿射变换。
第三篇：Robust Principal Component Analysis? 这篇文章仅在此提一下，文章中设计大量的数学公式实在看不下去，大家可以去看这个微博：http://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/8572994。