[离散时间信号处理学习笔记] 10. z变换与LTI系统

我们前面讨论了z变换，其实也是为了利用z变换分析LTI系统。

利用z变换得到LTI系统的单位脉冲响应

对于用差分方程描述的LTI系统而言，z变换将十分有用。有如下形式的差分方程：

$displaystyle{ y[n] = –sum_{k=1}^{N}left(frac{a_k}{a_0} ight)y[n-k]+sum_{k=0}^{M}left(frac{b_k}{a_0} ight)x[n-k] }$

我们可以通过z变换得到上述式子的单位脉冲响应。

等式两边进行z变换

$egin{align*}
Y(z)
&=zleft{-sum_{k=1}^{N} left( frac{a_k}{a_0} ight)y[n-k]+sum_{k=0}^{M}left(frac{b_k}{a_0} ight)x[n-k] ight}\
&=zleft{-sum_{k=1}^{N} left( frac{a_k}{a_0} ight)y[n-k] ight}+zleft{sum_{k=0}^{M}left(frac{b_k}{a_0} ight)x[n-k] ight}quad z linearity property\
&=-sum_{k=1}^{N} left( frac{a_k}{a_0} ight)z^{-k}Y(z) + sum_{k=0}^{M}left(frac{b_k}{a_0} ight)z^{-k}X(z) quad z time shift property\
end{align*}$

整理后可以得到

$Y(z)=left(frac{displaystyle{ sum_{k=0}^{M}b_kz^{-k} }}{displaystyle{sum_{k=1}^{N}a_kz^{-k}}} ight )X(z)$

另外，我们知道LTI系统是通过卷积来定义的

$displaystyle{ y[n] = h[n]*x[n] }$

等式两边进行z变换，可以得到

$Y(z) = H(z)X(z)$

因此有

$H(z) = frac{displaystyle{ sum_{k=0}^{M}b_kz^{-k} }}{displaystyle{sum_{k=1}^{N}a_kz^{-k}}}$

我们对$H(z)$进行z逆变换即可得到单位脉冲响应$h[n]$。$H(z)$被称为系统函数。

因果LTI系统的一些z变换特性

此外，我们这里讨论的差分方程是因果的，即有

• 系统满足初始松弛条件，也就是说如果输入为$x[n]=0,n< 0$，有
  $y[-N] = y[-N+1]=cdotcdotcdot=y[-1]=0$
• 因果LTI系统的单位脉冲响应满足$h[n]=0,n<0$，那么系统函数$H(z)$的收敛域呈现$|z|>R$。