各种优化器对比--BGD/SGD/MBGD/MSGD/NAG/Adagrad/Adam

指数加权平均 (exponentially weighted averges)

先说一下指数加权平均， 公式如下：

[v_{t}=eta v_{t-1}+(1-eta) heta_{t} ]

• ( heta_t) 是第t天的观测值
• (v_t) 是用来替代( heta_t)的估计值，也就是加权平均值
• (eta) 超参数

设 (eta = 0.9) , 那么公式可以化简为：

[v_{100} = 0.1 * heta_t + 0.1 * 0.9 * heta_{99} + 0.1 * 0.9^{2} heta_{98}+ldots+0.1 * 0.9^{99} heta_{1} ]

它考虑到了之前所有观测值，但是事件越靠近的观测值权重越大，时间越久远的观测值权重就很小了。

在 (eta = 0.9)时，很多资料认为(0.9^{10} approx 0.35 approx 1 / e)， 把这个数当成一个分界点，权重降低到这个分界点之下就可以忽略不计，而 (eta^{frac{1}{1-eta}} approx 1 / e) , 所以把上面两个公式合到一起就可以认为指数加权平均就是最近 (N=frac{1}{1-eta})天的加权平均值

所以

• (eta) 越小， 加权平均的数据越少，就容易出现震荡
• (eta) 越大， 加权平均考虑的数据就越多，当出现震荡的时候会由于历史数据的权重导致震荡的幅度减小

Batch Gradient Descent (BGD)

BGD使用整个数据集来计算梯度，这里的损失函数是所有输入的样本数据的loss的和，单个样本的loss可以用交叉熵或者均方误差来计算。

[ heta= heta-eta cdot abla_{ heta} J( heta) ]

缺点是每次更新数据都需要计算整个数据集，速度很慢，不能实时的投入数据更新模型。对于凸函数可以收敛到全局最小值，对于非凸函数只能收敛到局部最小值。这是最朴素的优化器了

Stochastic Gradient Descent(SGD)

由于BGD计算梯度太过费时，SGD每次只计算一个样本的loss，然后更新参数。计算时可以先打乱数据，然后一条一条的将数据输入到模型中

[ heta= heta-eta cdot abla_{ heta} Jleft( heta ; x^{(i)} ; y^{(i)} ight) ]

他的缺点是更新比较频繁，会有严重的震荡。

当我们稍微减小learning rate， SGD和BGD的收敛性是一样的

Mini-Batch Gradient Descent (MBGD)

每次接收batch个样本，然后计算它们的loss的和。

[ heta= heta-eta cdot abla_{ heta} Jleft( heta ; x^{(i: i+n)} ; y^{(i: i+n)} ight) ]

对于鞍点， BGD会在鞍点附近停止更新，而MSGD会在鞍点周围来回震荡。

Monentum SGD

加入了v的概念，起到一个类似惯性的作用。在更新梯度的时候会照顾到之前已有的梯度。这里的(v_t)就是梯度的加权平均

[egin{array}{l} v_{t}=gamma v_{t-1}+eta abla_{ heta} J( heta) \ heta= heta-v_{t} end{array} ]

它可以在梯度方向不变的维度上使速度变快，在梯度方向有所改变的维度上更新速度更慢，可以抵消某些维度的摆动，加快收敛并减小震荡。(gamma)一般取值为0.9

Nesterov Accelerated Gradient

它用 ( heta-gamma v_{t-1})来近似估计下一步 ( heta)会到达的位置

[egin{array}{l} v_{t}=gamma v_{t-1}+eta abla_{ heta} Jleft( heta-gamma v_{t-1} ight) \ heta= heta-v_{t} end{array} ]

能够让算法提前看到前方的地形梯度，如果前面的梯度比当前位置的梯度大，那我就可以把步子迈得比原来大一些，如果前面的梯度比现在的梯度小，那我就可以把步子迈得小一些

这个算法的公式竟然可以转化为下面的等价的公式：

[egin{array}{l} d_{i}=eta d_{i-1}+gleft( heta_{i-1} ight)+etaleft[gleft( heta_{i-1} ight)-gleft( heta_{i-2} ight) ight] \ heta_{i}= heta_{i-1}-alpha d_{i} end{array} ]

后面的梯度相减可以认为是梯度的导数，也就是loss的二阶导数。也就是用二阶导数判断了一下曲线的趋势。其中 (gamma)一般取值为0.9

Adagrad (Adaptive gradient algorithm)

可以对低频的参数做较大的更新，对高频的参数做较小的更新。

[ heta_{t+1, i}= heta_{t, i}-frac{eta}{sqrt{G_{t, i i}+epsilon}} cdot g_{t, i} ]

这个算法很有意思，G是在某个维度上，t从0开始到现在的所有梯度的平方和。所以对于经常更新的参数，学习率会越来越小，而对于不怎么更新的参数，他的学习率会变得相对更高。

( heta)一般设置为0.01，他的缺点是分母会不断累计，最终学习率会变得非常小。如果初始梯度很大，会导致学习率变得很小。它适合用于稀疏数据。

Adadelta

对Adagrad的改进，对某个维度的历史维度进行平方、相加、开方

[Eleft[g^{2} ight]_{t}= ho * Eleft[g^{2} ight]_{t-1}+(1- ho) * g_{t}^{2} ]

[x_{t+1}=x_{t}-frac{eta}{sqrt{Eleft[g^{2} ight]_{t}+epsilon}} * g_{t} ]

[R M Sleft(g_{t} ight)=sqrt{Eleft[g^{2} ight]_{t}+epsilon} ]

解决了历史梯度一直累加导致的学习率下降问题， (epsilon) 是为了方式分母为0加上的极小值， (rho)一般取值为0.9

Adaptive Moment Estimation (Adam)

同时考虑了梯度的平方和梯度的指数衰减。建议(eta_1)=0.9, (eta_2)=0.999, (eta)=10e-8

[m_{t}=eta_{1} m_{t-1}+left(1-eta_{1} ight) g_{t} ]

[v_{t}=eta_{2} v_{t-1}+left(1-eta_{2} ight) g_{t}^{2} ]

[egin{array}{l} hat{m}{t}=frac{m{t}}{1-eta_{1}^{t}}, hat{v}{t}=frac{v{t}}{1-eta_{2}^{t}} end{array} ]

[ heta_{t+1}= heta_{t}-frac{eta}{sqrt{hat{v}_{t}}+epsilon} hat{m}_{t} ]

Adam取得了比其他方法更好的效果

总结

如果数据是稀疏的，就用自适用方法，即 Adagrad, Adadelta, RMSprop, Adam。

参考资料：
https://www.cnblogs.com/guoyaohua/p/8542554.html
https://arxiv.org/pdf/1609.04747.pdf