【蓝桥杯】买不到的数目

买不到的数目

题目：

小明开了一家糖果店。他别出心裁：把水果糖包成4颗一包和7颗一包的两种。糖果不能拆包卖。

小朋友来买糖的时候，他就用这两种包装来组合。当然有些糖果数目是无法组合出来的，比如要买 10 颗糖。

你可以用计算机测试一下，在这种包装情况下，最大不能买到的数量是17。大于17的任何数字都可以用4和7组合出来。

本题的要求就是在已知两个包装的数量时，求最大不能组合出的数字。

输入：

两个正整数，表示每种包装中糖的颗数(都不多于1000)

要求输出：

一个正整数，表示最大不能买到的糖数

例如：

用户输入：

4 7

程序应该输出：

17

再例如：

用户输入：

3 5

程序应该输出：

7

题目分析：

观察题目，将题目抽象为有两个正整数a、b，可以组合成任意线性组合ax+by，x、y非负，求最大不能组合数。

由于不能组合而成的数我们不清楚公式，所以从可组合数入手分析。将可组合数设为c，那么c = ax + by。其中，x和y在题目中理解为两种不同包装的水果糖的包数。

这里需要导入数论中的一个定理：假设有两个正整数a、b，若它们的最大公约数gcd(a, b)不为1，那么它们的线性组合一定是gcd(a, b)的倍数。即它们不存在最大不可组合数，因此a、b一定互质。

现在，我们需要从一个数论的规律反证。

结论：自然数a、b互质，则不能表示为ax + by（x、y为非负整数）的最大整数是ab – a – b。

证明：（反证法）

当a或b为1的情况下容易证明，因此以下证明当a > 1且b > 1的情况。

假设ab – a – b = ax + by，那么ab = (x + 1)a + (y + 1)b。

左式为a的倍数，等式若成立，那么右式也是a的倍数，那么需要(y + 1)也是a的倍数，等式不成立。

到这里已经证明了ab – a – b是一个不可组合数，但没有证得是最大不可组合数。

再次利用反证法，证明大于ab – a – b的数都可以被组合而成：

若存在c > ab – a – b，即存在ab – a – b + t = ma + nb（m、n、t为非负整数），得到两个方程如下：

1. t = (m + 1 - b)a + (n + 1)b

2. t = (m + 1)a + (n + 1 - a)b

此时，右式可以表示为一正一负任意数、一负一正任意数、两个都是正整数的情况。

又由裴蜀定理可知，gcd(a, b) = sa + tb（a、b为正整数，s、t为整数），其中gcd(a, b)大于0，s、t不可能同时为负，所以方程1、2可以表示为任意gcd(a, b)的倍数，又因为a、b互质，gcd(a, b) = 1，因此可以t表示任意大于0的整数，证得等式ab – a – b + t = ma + nb成立！

总体思路是证明两个命题：

1. ab - a - b被不可组合而成

2. 大于ab - a - b的所有数都可以被组合而成

解题代码：

#include <stdio.h>

int main()
{
	long long a, b;
	
	scanf("%lld %lld", &a, &b);
	printf("%lld", a * b - a - b);
	
	return 0;
}