LCS (nlogn)

最长上升子序列的O(n＊logn)算法分析如下:

先回顾经典的O(n＾2)的动态规划算法，设a[t]表示序列中的第t个数，dp[t]表示从1到t这一段中以t结尾的最长上升子序列的长度，初始时设dp [t] = 0(t = 1, 2, ..., len(a))。则有动态规划方程：dp[t] = max{1, dp[j] + 1} (j = 1, 2, ..., t - 1, 且a[j] < a[t])。

现在，我们仔细考虑计算dp[t]时的情况。假设有两个元素a[x]和a[y]，满足

(1)x < y < t

(2)a[x] < a[y] < a[t]

(3)dp[x] = dp[y]

此时，选择dp[x]和选择dp[y]都可以得到同样的dp[t]值，那么，在最长上升子序列的这个位置中，应该选择a[x]还是应该选择a[y]呢？

很明显，选择a[x]比选择a[y]要好。因为由于条件(2)，在a[x+1] ... a[t-1]这一段中，如果存在a[z]，a[x] < a[z] < a[y]，则与选择a[y]相比，将会得到更长的上升子序列。

再根据条件(3)，我们会得到一个启示：根据dp[]的值进行分类。对于dp[]的每一个取值k，我们只需要保留满足dp[t] = k的所有a[t]中的最小值。设D[k]记录这个值，即D[k] = min{a[t]} (dp[t] = k)。

注意到D[]的两个特点：

(1)　D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。

(2)　D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。

利用D[]，我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断a[t]与D[len]。若a [t] > D[len]，则将a[t]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列，len = len + 1， D[len] = a [t]；否则，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，满足D[j] < a[t]。令k = j + 1，则有a [t] <= D[k]，将a[t]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列，更新D[k] = a[t]。最后，len即为所要求的最长上升子序列的长度。

在上述算法中，若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找，由于共有O(n)个元素需要计算，每次计算时的复杂度是O(n)，则整个算法的时间复杂度为O(n^2)，与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D[]的特点(2)，我们在D[]中查找时，可以使用二分查找高效地完成，则整个算法的时间复杂度下降为O(nlogn)，有了非常显著的提高。需要注意的是，D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列！

hdu 1950   Bridging signals

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MAXN 40005

int a[MAXN],D[MAXN],len;

int binary_search(int i)
{
    int left,right,mid;
    left=0,right=len;
    while(left<right)
    {
        mid = left+(right-left)/2;
        if(D[mid]>=a[i]) right=mid;
        else left=mid+1;
    }
    return left;
}

int main()
{
    //freopen("input.txt","r",stdin);
    int T,p,i,j,k;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&p);
        for(i=1; i<=p; ++i)
            scanf("%d",&a[i]);

        D[1] = a[1];
        len=1;
        for(i=2; i<=p; ++i)
        {
            if(a[i]>D[len])
                D[++len]=a[i];
            else
            {
                int j=binary_search(i);   // 如果用STL： pos=lower_bound(ans,ans+len,arr[i])-ans;
                D[j] = a[i];
            }
        }
            printf("%d
",len);
    }
    return 0;
}