最短路径之Floyd(弗洛伊德)算法

上课没好好听，floyd算法其实还是很简单的，适合算法入门，用三个for循环就可以解决问题，时间复杂度为O(n^3)

Floyd算法的基本思想如下：

从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若干个节点X到B。假设Dis(AB)为节点A到节点B的最短路径的距离，对于每一个节点X，我们检查Dis(AX) + Dis(XB) < Dis(AB)是否成立，如果成立，证明从A到X再到B的路径比A直接到B的路径短，便设置Dis(AB) = Dis(AX) + Dis(XB)，这样一来，当遍历完所有节点X，Dis(AB)中记录的便是A到B的最短路径的距离。

代码看起来可能像下面这样：

for (int i = 0; i < 节点个数; ++i )

{

    for (int j = 0; j < 节点个数; ++j )

    {

        for (int k = 0; k < 节点个数; ++k )

        {

            if ( Dis[i][k] + Dis[k][j] < Dis[i][j] )

            {

                // 找到更短路径

                Dis[i][j] = Dis[i][k] + Dis[k][j];

            }

        }

    }

}

但是这里我们要注意循环的嵌套顺序，如果把检查所有节点X放在最内层，那么结果将是不正确的，为什么呢？因为这样便过早的把i到j的最短路径确定下来了，而当后面存在更短的路径时，已经不再会更新了。

让我们来看一个例子，看下图：

图中红色的数字代表边的权重。如果我们在最内层检查所有节点X，那么对于A->B，我们只能发现一条路径，就是A->B，路径距离为9。而这显然是不正确的，真实的最短路径是A->D->C->B，路径距离为6。造成错误的原因就是我们把检查所有节点X放在最内层，造成过早的把A到B的最短路径确定下来了，当确定A->B的最短路径时Dis(AC)尚未被计算。所以，我们需要改写循环顺序，如下：

for (int k = 0; k < 节点个数; ++k )

{

    for (int i = 0; i < 节点个数; ++i )

    {

        for (int j = 0; j < 节点个数; ++j )

        {

            if ( Dis[i][k] + Dis[k][j] < Dis[i][j] )

            {

                // 找到更短路径

                Dis[i][j] = Dis[i][k] + Dis[k][j];

            }

        }

    }

}

这就是floyd算法的核心部分，下一篇给出具体的应用。