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马拉车的解决的问题：
给定字符串S，求S中的最长回文子串？
解释：回文串就是正读反读都一样的字符串，比如奇回文串（bab）、偶回文串（noon）。
马拉车算法步骤：
- 1）由于回文串存在奇回文串和偶回文串，马拉车算法第一步就是：预处理字符串，做法是在每一个字符的左右都加上一个特殊字符（前提是这个字符在字符串没有出现过），使这两种回文串都变成偶回文串。比如加上’#’，这样奇回文串（
bab）还是会变成奇回文串（#b#a#b#），偶回文串（noon）会变成奇回文串（#n#o#o#n#）。
- 2）然后我们定义一个辅助数组p用来表示经过与处理过的新字符串t，其中p[i]表示以字符t[i]为半径的回文子串长度，例如：
| index | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| char | $ | # | 1 | # | 2 | # | 2 | # | 1 | # | 2 | # | 2 | # |
| R | 1 | 2 | 1 | 2 | 5 | 2 | 1 | 6 | 1 | 2 | 3 | 2 | 1 |
- 3）找规律
规律①：最大半径减1等于最长回文串的长度
看上面那个例子，以中间的 ‘1’ 为中心的回文子串 “#2#2#1#2#2#” 的半径是6，而未添加#号的回文子串为 “22122”，长度是5，为半径减1。这是个普遍的规律么？我们再看看之前的那个 “#b#o#b#”，我们很容易看出来以中间的 ‘o’ 为中心的回文串的半径是4，而 "bob"的长度是3，符合规律。再来看偶数个的情况 “noon”，添加#号后的回文串为 “#n#o#o#n#”，以最中间的 ‘#’ 为中心的回文串的半径是5，而 “noon” 的长度是4，完美符合规律。所以我们只要找到了最大的半径，就知道最长的回文子串的字符个数了。只知道长度无法定位子串，我们还需要知道子串的起始位置。
规律②：最长回文字符的起始位置是中间位置减去半径在除以2
我们还是先来看中间的 ‘1’ 在字符串 “#1#2#2#1#2#2#” 中的位置是7，而半径是6，貌似 7-6=1，刚好就是回文子串 “22122” 在原串 “122122” 中的起始位置1。那么我们再来验证下 “bob”，“o” 在 “#b#o#b#” 中的位置是3，但是半径是4，这一减成负的了，肯定不对。所以我们应该至少把中心位置向后移动一位，才能为0啊，那么我们就需要在前面增加一个字符，这个字符不能是#号，也不能是s中可能出现的字符，所以我们暂且就用美元号吧，毕竟是博主最爱的东西嘛。这样都不相同的话就不会改变p值了，那么末尾要不要对应的也添加呢，其实不用的，不用加的原因是字符串的结尾标识为 ‘ ’，等于默认加过了。那此时 “o” 在"$#b#o#b#"中的位置是4，半径是4，一减就是0了，貌似没啥问题。我们再来验证一下那个数字串，中间的 ‘1’ 在字符串"$#1#2#2#1#2#2#"中的位置是8，而半径是6，这一减就是2了，而我们需要的是1，所以我们要除以2。之前的 “bob” 因为相减已经是0了，除以2还是0，没有问题。再来验证一下 “noon”，中间的 ‘#’ 在字符串"$#n#o#o#n#"中的位置是5，半径也是5，相减并除以2还是0，完美。所以，最长回文字符的起始位置是中间位置减去半径在除以2。
- 4）p数组求解
关于p数组的求解，需要建立两个辅助变量mx和id，id表示回文串的中心位置下标，mx表示回文串右边最大半径下标，所以mx = id + p[id]。
接下来就是求p[i]，当然这也是算法中最重要的部分：
p[i] = mx > i ? min(p[2 * id - i], mx - i) : 1;
注： 2 * id - i表示 i 关于 id 对称的坐标点j。因为 j 到 id 之间到距离等于 id 到 i 之间到距离（id - j = i - id），所以j = 2 * id - i。
如果 mx > i, 则 p[i] = min( p[2 * id - i] , mx - i )；否则，p[i] = 1。
①： 在mx > i的前提下，若p[j] < mx - i，表示以 S[j] 为中心的回文子串包含在以 S[id] 为中心的回文子串中，由于 i 和 j 对称，以 S[i] 为中心的回文子串必然包含在以 S[id] 为中心的回文子串中，所以必有 P[i] = P[j]。
②： 在mx > i的前提下，若 p[j] >= mx - i表示以 S[j] 为中心的回文子串不一定完全包含于以 S[id] 为中心的回文子串中，也就是说p[j]表示的回文串半径超过mx对称点的坐标了，那么此时不能利用对称性了，但我们一定可以扩展到 mx 的，至于mx之后的部分我们任然需要匹配了。
③： 在mx <= i的前提下，p[i] = 1，因为此时我们需要通过中心扩展法一步一步扩展半径就行了。
关于p[i] = mx > i ? min(p[2 * id - i], mx - i) : 1;的更好理解，大家可看：一文让你彻底明白马拉车算法此文中的三种特殊情况！
- 5）马拉车算法代码如下：
#include <vector>
#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
string Mannacher(string s){
//插入"#"
string t="$#";
for(int i=0;i<s.size();++i)
{
t+=s[i];
t+="#";
}
vector<int> p(t.size(),0);
//mx表示某个回文串延伸在最右端半径的下标，id表示这个回文子串最中间位置下标
//resLen表示对应在s中的最大子回文串的半径，resCenter表示最大子回文串的中间位置
int mx=0,id=0,resLen=0,resCenter=0;
//建立p数组
for(int i=1;i<t.size();++i){
p[i]=mx>i?min(p[2*id-i],mx-i):1;
//遇到三种特殊的情况，需要利用中心扩展法
while(t[i+p[i]]==t[i-p[i]])++p[i];
//半径下标i+p[i]超过边界mx，需要更新
if(mx<i+p[i]){
mx=i+p[i];
id=i;
}
//更新最大回文子串的信息，半径及中间位置
if(resLen<p[i]){
resLen=p[i];
resCenter=i;
}
}
//最长回文子串长度为半径-1，起始位置为中间位置减去半径再除以2
return s.substr((resCenter-resLen)/2,resLen-1);
}
int main(){
cout<<Mannacher("12212")<<endl;
cout<<Mannacher("122122")<<endl;
cout<<Mannacher("noon")<<endl;
return 0;
}