把数组排成最小的数 【微软面试100题 第六十八题】

题目要求：

　　输入一个正整数数组，将它们连接起来排成一个数，输出能排出的所有数字中最小的一个。

　　例如输入数组{32,321},则输出这两个能排成的最小数字32132.

　　请给出解决问题的算法，并证明该算法。

　　参考资料：剑指offer第33题。

　　链接：http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/25411174200952174133707/

题目分析：

　　============================以下引自原文：======================

　　根据题目的要求，两个数字m和n排成的数字mn和nm，如果mn<nm，那么我们应该输出mn，也就是m应该排在n的前面，也就是m小于n；反之，如果nm<mn，n小于m。如果mn==mn，m等于n。

　　接下来我们考虑怎么去拼接数字，即给出数字m和n，怎么得到数字mn和nm并比较它们的大小。直接用数值去计算不难办到，但需要考虑到的一个潜在问题是m和n都在int能表达的范围内，但把它们拼起来的数字mn和nm就不一定能用int表示了。所以我们需要解决大数问题。一个非常直观的方法就是把数字转换成字符串。

　　另外，由于把数字m和n拼接起来得到的mn和nm，它们所含有的数字的个数肯定是相同的。因此比较它们的大小只需要按照字符串大小的比较规则就可以了。

　　证明：

　　首先我们需要证明之前定义的比较两个数字大小的规则是有效的。一个有效的比较需要三个条件：1.自反性，即a等于a；2.对称性，即如果a大于b，则b小于a；3.传递性，即如果a小于b，b小于c，则a小于c。现在分别予以证明。

　　1.自反性。显然有aa=aa，所以a=a。

　　2.对称性。如果a小于b，则ab<ba，所以ba>ab。因此b大于a。

　　3.传递性。如果a小于b，则ab<ba。当a和b用十进制表示的时候分别为l位和m位时，ab=a×10^m+b，ba=b×10^l+a。　　　　所以a×10^m+b<b×10^l+a。于是有a×10^m-a< b×10^l –b，即a(10^m -1)<b(10^l -1)。所以a/(10^l -1)<b/(10^m -1)。

如果b小于c，则bc<cb。当c表示成十进制时为m位。和前面证明过程一样，可以得到b/(10^m -1)<c/(10ⁿ -1)。

所以a/(10^l -1)< c/(10ⁿ -1)。于是a(10ⁿ -1)<c(10^l -1)，所以a×10ⁿ +c<c×10^l +a，即ac<ca。

所以a小于c。

　　在证明了我们排序规则的有效性之后，我们接着证明算法的正确性。我们用反证法来证明。

　　我们把n个数按照前面的排序规则排好顺序之后，表示为A₁A₂A₃…A_n。我们假设这样排出来的两个数并不是最小的。即至少存在两个x和y（0<x<y<n），交换第x个数和地y个数后，A₁A₂…A_y…A_x…A_n<A₁A₂…A_x…A_y…A_n。

　　由于A₁A₂…A_x…A_y…A_n是按照前面的规则排好的序列，所以有A_x<A_x+1<A_x+2<…<A_y-2<A_y-1<A_y。

　　由于A_y-1小于A_y，所以A_y-1A_y<A_yA_y-1。我们在序列A₁A₂…A_x…A_y-1A_y…A_n交换A_y-1和A_y，有A₁A₂…A_x…A_y-1A_y…A_n<A₁A₂…A_x…A_yA_y-1…A_n（这个实际上也需要证明。感兴趣的读者可以自己试着证明）。我们就这样一直把A_y和前面的数字交换，直到和A_x交换为止。于是就有A₁A₂…A_x…A_y-1A_y…A_n<A₁A₂…A_x…A_yA_y-1…A_n< A₁A₂…A_x…A_yA_y-2A_y-1…A_n<…< A₁A₂…A_yA_x…A_y-2A_y-1…A_n。

　　同理由于A_x小于A_x+1，所以A_xA_x+1<A_x+1A_x。我们在序列A₁A₂…A_yA_xA_x+1…A_y-2A_y-1…A_n仅仅只交换A_x和A_x+1，有A₁A₂…A_yA_xA_x+1…A_y-2A_y-1…A_n<A₁A₂…A_yA_x+1A_x…A_y-2A_y-1…A_n。我们接下来一直拿A_x和它后面的数字交换，直到和A_y-1交换为止。于是就有A₁A₂…A_yA_xA_x+1…A_y-2A_y-1…A_n<A₁A₂…A_yA_x+1A_x…A_y-2A_y-1…A_n<…< A₁A₂…A_yA_x+1A_x+2…A_y-2A_y-1A_x…A_n。

　　所以A₁A₂…A_x…A_y…A_n< A₁A₂…A_y…A_x…A_n。这和我们的假设的A₁A₂…A_y…A_x…A_n <A₁A₂…A_x…A_y…A_n相矛盾。

　　所以假设不成立，我们的算法是正确的。

　　============================以上引自原文：======================

代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;

//定义两个全局变量存放两字符串连接后的结果
char* g_StrCombine1 = new char[64];
char* g_StrCombine2 = new char[64];

//定义一个比较函数
int compare(const void* strNumber1, const void* strNumber2)
{
    strcpy(g_StrCombine1, *(const char**) strNumber1);
    strcat(g_StrCombine1, *(const char**) strNumber2);
    
    strcpy(g_StrCombine2, *(const char**) strNumber2);
    strcat(g_StrCombine2, *(const char**) strNumber1);

    return strcmp(g_StrCombine1, g_StrCombine2);
}

void PrintMinNumber(int* numbers, int length)
{
    if (numbers==NULL || length<=0)
        return;

    char** strNumbers = (char**)(new int[length]);

    for ( int i = 0; i < length; i++ )
    {
        strNumbers[i] = new char[32];
        sprintf(strNumbers[i], "%d", numbers[i]);
    }

    qsort(strNumbers, length, sizeof(char*), compare);

    cout << "最小数字为：";
    for ( int j = 0; j < length; j++ )
    {
        cout << strNumbers[j];
    }
    cout <<endl;
}

int main(void)
{
    int a[3]={3,32,321};
    PrintMinNumber(a,3);
    
    return 0;
}

如果是把数组排成最大的数呢？

只需将比较函数compare的return语句改成return strcmp(g_StrCombine2, g_StrCombine1);