题目要求:
四对括号可以有多少种匹配排列方式?比如两对括号可以有两种:()()和(())
题目分析:
之前左括号的数量必须比右括号多,即卡特兰数,
令h(0)=1,h(1)=1,catalan数满足递推式,
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2),
例如:h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2,
h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5,
h(n)=C(2n,n)/(n+1),
程序实现比较巧妙,参见具体代码。
代码实现:
#include <iostream> using namespace std; #define N 3 int a[N]; void display() { for (int i = 1; i <= N; ++i) { cout<< '('; for (int j = 1; j <= a[i]; ++j) cout<< ')'; } cout<<endl; } //有N 对括号,则 B函数主要求的是N个 ')'怎么与前面的'('搭配 //a[i] 表示对应某个位置的 ')'个数,如:()()表示 a[1] = 1, //a[2] = 1;(()) 表示a[1] = 0,a[2] = 2; a[i]之和肯定等于N; //但是不能是())(这样的,因为这里面 a[1] = 2了。即a[i]最多有 i个')' ,最少为个。 void B(int level, int sum, int &result) { //level表示'('的个数 if (level == N) { a[N] = N - sum; ++result; display(); } else { //i+sum<=level表示此时的')'总数要 <='('的总数,不然不满足要求。 for (int i = 0; i+sum<= level; ++i) { a[level] = i; B(level + 1, sum + i, result); a[level] = 0; } } } int main() { int result = 0; B(1, 0, result); cout<<result<<endl; return 0; }