模拟退火是什么？
模拟退火来自冶金学的专有名词退火。退火是将材料加热后再经特定速率冷却，目的是增大晶粒的体积，并且减少晶格中的缺陷。材料中的原子原来会停留在使内能有局部最小值的位置，加热使能量变大，原子会离开原来位置，而随机在其他位置中移动。退火冷却时速度较慢，使得原子有较多可能可以找到内能比原先更低的位置。
模拟退火的原理也和金属退火的原理近似：我们将热力学的理论套用到统计学上，将搜寻空间内每一点想像成空气内的分子；分子的能量，就是它本身的动能；而搜寻空间内的每一点，也像空气分子一样带有“能量”，以表示该点对命题的合适程度。算法先以搜寻空间内一个任意点作起始：每一步先选择一个“邻居”，然后再计算从现有位置到达“邻居”的概率。
可以证明，模拟退火算法所得解依概率收敛到全局最优解。
演算步骤
- 初始化
生成一个可行的解作为当前解输入迭代过程，并定义一个足够大的数值作为初始温度
- 迭代
迭代过程是模拟退火算法的核心步骤，分为新解的产生和接受新解两部分
- 由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。
- 计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。
- 判断新解是否被接受，判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropolis准则：若Δt′<0则接受S′作为新的当前解S，否则以概率exp（-Δt′/T）接受S′作为新的当前解S。
4.当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。
注：模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S（是算法迭代的起点）无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率1收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。
- 停止准则
迭代过程的停止准则：温度T降至某最低值时，完成给定数量迭代中无法接受新解，停止迭代，接受当前寻找的最优解为最终解。
- 退火方案
在某个温度状态T下，当一定数量的迭代操作完成后，降低温度T，在新的温度状态下执行下一个批次的迭代操作。
- 上述内容摘自wiki百科
整个流程图如下：
看不懂上面说的，怎么办？
没事，第一次看的时候我也看不懂，因此下面我用我的理解来讲述这个欧皇（划去）算法
和之前一样，我们通过一道题目来理解
[[JSOI2004]平衡点 ]有(n)个重物，每个重物系在一条足够长的绳子上。每条绳子自上而下穿过桌面上的洞，然后系在一起。X处就是公共的绳结。假设绳子是完全弹性的（不会造成能量损失），桌子足够高（因而重物不会垂到地上），且忽略所有的摩擦。问绳结X最终平衡于何处。
注意：桌面上的洞都比绳结X小得多，所以即使某个重物特别重，绳结X也不可能穿过桌面上的洞掉下来，最多是卡在某个洞口处。
先讲一下正解的思路：
在平面上确定一个原点，将所有的力在这个平面上正交分解，从而求得所有力的合力的方向。
然后使用一个半平面切割初始的凸包，形成一个新的凸包，这样操作后凸包的面积会变小，进行多次二分，直到凸包的面积达到精度以内（即小到可以看做一个点），这时任选凸包的一个顶点就是答案。
若二分次数为(k)，算法的时间复杂度为(O(kn))
至此正解结束
但这个正解很low，显示不出我们OIer真正的强大（暴力）之处，因此，我们选择模拟退火来AC这道题！
代码实现
很明显，我们先开一个结构体储存物体信息
struct Node
{
int x,y,w;
}object[2005];
//储存物体的坐标和重量
然后我们需要一个函数来计算新的系统的能量，因为根据物理学知识，一个系统的能量之和越小则越稳定
double energy(double x,double y)//计算系统新的能量
{
double r=0,dx,dy;
for(register int i=1;i<=n;++i)
{
dx=x-object[i].x;
dy=y-object[i].y;
r+=sqrt(dx*dx+dy*dy)*object[i].w;
}
return r;
}//根据物理学知识，系统能量之和越小则越稳定
接着就是多次迭代退火，逼近最优值
void sa()//simulated annealing，模拟退火
{
double t=3000;//将初始温度设为3000°C
while(t>eps)//控制精度
{
double newx=ansx+(rand()*2-RAND_MAX)*t;
double newy=ansy+(rand()*2-RAND_MAX)*t;
double neww=energy(newx,newy);
double delta=neww-answ;
if(delta<0)//新的系统能量更小（更稳定）
{
ansx=newx;
ansy=newy;
answ=neww;
}
else if(exp(-delta/t)*RAND_MAX>rand())//概率接受
{
ansx=newx;
ansy=newy;
}
t*=down;//操作完毕后降温
}
}
然后在主函数中多次退火就行了。
交代码前需要注意最重要的一步——洗脸！（笑）
模拟退火是玄学算法，因此需要多交几次才能过
至于某脸黑的tqr……
附上AC代码（调了很久才调出来的降温参数）
#include<bits/stdc++.h>
#define eps 1e-15
using namespace std;
const double down=0.994;
//降温系数，缓慢降温，关于降温参数的选取……这是个玄学问题
int n;
double ansx,ansy,answ;
//最终的答案
struct Node
{
int x,y,w;
}object[2005];
//储存物体的坐标和重量
double energy(double x,double y)//计算系统新的能量
{
double r=0,dx,dy;
for(register int i=1;i<=n;++i)
{
dx=x-object[i].x;
dy=y-object[i].y;
r+=sqrt(dx*dx+dy*dy)*object[i].w;
}
return r;
}//根据物理学知识，系统能量之和越小则越稳定
void sa()//simulated annealing，模拟退火
{
double t=3000;//将初始温度设为3000°C
while(t>eps)//控制精度
{
double newx=ansx+(rand()*2-RAND_MAX)*t;
double newy=ansy+(rand()*2-RAND_MAX)*t;
double neww=energy(newx,newy);
double delta=neww-answ;
if(delta<0)//新的系统能量更小（更稳定）
{
ansx=newx;
ansy=newy;
answ=neww;
}
else if(exp(-delta/t)*RAND_MAX>rand())//概率接受
{
ansx=newx;
ansy=newy;
}
t*=down;//操作完毕后降温
}
}
template<class T>inline void read(T &res)
{
T flag=1;char c;
while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')flag=-1;res=c-'0';
while((c=getchar())>='0'&&c<='9')res=(res<<1)+(res<<3)+c-'0';res*=flag;
}
int main()
{
read(n);
for(register int i=1;i<=n;++i)
{
read(object[i].x);ansx+=object[i].x;
read(object[i].y);ansy+=object[i].y;
read(object[i].w);
}
ansx/=n;ansy/=n;
answ=energy(ansx,ansy);
sa();sa();sa();sa();sa();sa();
printf("%.3lf %.3lf",ansx,ansy);
return 0;
}
UPD：我发现0.994的参数，退八次火AC率很高，但不知道为什么，dalao求解qwq
