本学期将继续进行高等代数每周一题的活动。计划从第一教学周开始，到第十六教学周为止（根据法定节假日安排，中间个别周会适当地停止），每周的周末将公布1道思考题（共16道），供大家思考和解答。每周一题通过“谢启鸿高等代数官方博客（以博文的形式）”和“高等代数在线课程17级课群（以课群话题的形式）”这两个渠道同时发布，并通过17级高等代数微信群及时通知大家。有兴趣的同学可以将每周一题的解答写在纸上，并拍成图片上传到该每周一题对应的课群话题中。谢启鸿老师或研究生助教会对每周一题的解答进行批改和评价，并将优秀解答标记出来推荐给全班同学。
[问题2018S01] (1) 设 $A(x_1,x_2,cdots,x_m)=(a_{ij}(x_1,x_2,cdots,x_m))$ 为 $n$ 阶方阵, 其所有元素 $a_{ij}(x_1,x_2,cdots,x_m)$ 都是关于未定元 $x_1,x_2,cdots,x_m$ 的多项式. 设 $h_i(x_1,x_2,cdots,x_m) eq 0\,(1leq ileq k)$, $g(x_1,x_2,cdots,x_m)$ 都是关于未定元 $x_1,x_2,cdots,x_m$ 的多项式, 使得当数 $a_1,a_2,cdots,a_m$ 满足 $h_i(a_1,a_2,cdots,a_m) eq 0\,(forall\,1leq ileq k)$ 时, $|A(a_1,a_2,cdots,a_m)|=g(a_1,a_2,cdots,a_m)$ 成立. 证明: $|A|=g(x_1,x_2,cdots,x_m)$ 恒成立.
(2) 利用 (1) 给出复旦高等代数教材第 37 页习题 1.5.5 的简单解法.
(3) 利用多元多项式环的整性给出复旦高等代数教材第 91 页例 2.5.2 的严格证明.
[问题2018S02] 设 $M_n(K)$ 是数域 $K$ 上 $n$ 阶方阵全体构成的线性空间, $P=egin{pmatrix} 0 & cdots & 0 & 1 \ 0 & cdots & 1 & 0 \ vdots & & vdots & vdots \ 1 & cdots & 0 & 0 \ end{pmatrix}$, $M_n(K)$ 上的线性变换 $eta$ 定义为 $eta(X)=PX'P$. 试求 $eta$ 的全体特征值及其特征向量.
[问题2018S03] 有限维线性空间上的线性变换至多只有有限个特征值. 试构造无限维线性空间 $V$ 上的线性变换 $varphi$, 使得 $varphi$ 有无限个特征值.
[问题2018S04] 设 $A$ 为 $n$ 阶复矩阵, $alpha,eta$ 为 $n$ 维复列向量, $B=Aalphaeta'$. 试求矩阵 $B$ 可对角化的充要条件.
[问题2018S05] 设 $C$ 为数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵, 证明:
(1) $C$ 是幂零阵当且仅当 $C$ 的特征值全为零;
(2) 若 $r(C)=1$, 则 $C$ 是幂零阵当且仅当 $mathrm{tr}(C)=0$;
(3) 若 $mathrm{tr}(C)=0$ 且存在数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵 $A$, 使得 $A$ 的特征多项式是 $K$ 上的不可约多项式, 以及 $mathrm{tr}(CA^i)=0\,(forall\,1leq ileq n-1)$ 成立, 则必有 $r(C) eq 1$.
[问题2018S06] 请仅用复旦高代教材第六章的方法和技巧证明以下问题:
(1) 设数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^m=I_n$, 其中 $m$ 是正整数, 证明: $A$ 在复数域上可对角化;
(2) 设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间, $varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, 满足 $varphi^m=I_V$, 其中 $m$ 是正整数. 设 $W={vin Vmid varphi(v)=v}$ 为 $V$ 的子空间, 线性变换 $psi=dfrac{1}{m}sumlimits_{i=0}^{m-1}varphi^i$, 证明: $mathrm{tr}psi=dim W$.
[问题2018S07] 设 $A$ 为 $n$ 阶复矩阵, 请仅用复旦高代教材第六章的方法和技巧证明以下问题:
(1) $A$ 可对角化当且仅当 $A$ 的极小多项式无重根;
(2) 若 $A$ 满足 $Aoverline{A}'=overline{A}'A$, 则 $A$ 可对角化.
注 (1) 包含在复旦高代教材的推论 7.6.1 中, (2) 包含在复旦高代教材的定理 9.6.3 中.
提示 请参考 16 级高代 II 思考题 6 及其解答博文《实对称阵可对角化的几种证明》.
[问题2018S08] 设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间, $varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, $f(lambda),m(lambda)$ 分别是 $varphi$ 的特征多项式和极小多项式. 如果存在 $V$ 的 $varphi-$不变子空间 $V_1,V_2$, 使得 $$V=V_1oplus V_2,\,\,\,\,dim V_1<dim V,\,\,\,\,dim V_2<dim V,$$ 则称 $V$ 是 $varphi-$可分解的, 否则称 $V$ 是 $varphi-$不可分解的. 证明: $V$ 是 $varphi-$不可分解的充分必要条件是 $f(lambda)=m(lambda)=p(lambda)^k$, 其中 $p(lambda)$ 是 $K$ 上的首一不可约多项式, $kgeq 1$.
[问题2018S09] 设 $V$ 是复数域上的 $n$ 维线性空间, $varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, $U$ 是 $V$ 的非零 $varphi-$不变子空间. 设 $lambda_0$ 是限制变换 $varphi|_U$ 的一个特征值, 证明: $varphi|_U$ 的属于特征值 $lambda_0$ 的 Jordan 块的个数不超过 $varphi$ 的属于特征值 $lambda_0$ 的 Jordan 块的个数. 特别地, 若 $varphi$ 的属于特征值 $lambda_0$ 的 Jordan 块只有 1 个, 那么 $varphi|_U$ 的属于特征值 $lambda_0$ 的 Jordan 块也只有 1 个.
注 本题是 16 级高代 II 期中考试第六大题的推广. 请参考 17 级高代 I 每周一题第 10 题.
[问题2018S10] 设 $A$ 是复循环矩阵, $f(z)$ 是收敛半径为 $+infty$ 的复幂级数, 证明: $f(A)$ 也是循环矩阵.
[问题2018S11] 求下列实二次型的规范标准型: $f(x_1,x_2,cdots,x_n)=sumlimits_{i,j=1}^n|i-j|x_ix_j$.
[问题2018S12] 设 $alpha,eta$ 为 $n$ 维非零实列向量,
(1) 证明: $alpha'eta>0$ 成立的充要条件是存在 $n$ 阶正定实对称阵 $A$, 使得 $alpha=Aeta$;
(2) 判断下列结论是否正确, 并说明理由: $alpha'etageq 0$ 成立的充要条件是存在 $n$ 阶半正定实对称阵 $A$, 使得 $alpha=Aeta$.
[问题2018S13] 设 $V$ 是实 (复) 线性空间, 若存在 $V$ 上的实值函数 $|\,cdot\,|:V omathbb{R}$, 使得对任意的 $alpha,etain V$, $cinmathbb{R}\,(mathbb{C})$, 满足:
(i) 非负性: $|alpha|geq 0$, 等号成立当且仅当 $alpha=0$;
(ii) 齐次性: $|calpha|=|c|cdot|alpha|$;
(iii) 三角不等式: $|alpha+eta|leq |alpha|+|eta|$,
则称 $|\,cdot\,|$ 是 $V$ 上的一个范数. 给定范数的实 (复) 线性空间称为赋范线性空间. 例如在内积空间 $V$ 中, 由内积 $(-,-)$ 诱导的范数为 $|alpha|=(alpha,alpha)^{frac{1}{2}}$, 因此内积空间必为赋范线性空间. 现设 $(V, |\,cdot\,|)$ 为赋范线性空间, 并且范数满足平行四边形法则, 即对任意的 $alpha,etain V$, 满足$$|alpha+eta|^2+|alpha-eta|^2=2|alpha|^2+2|eta|^2,$$ 证明: 存在 $V$ 上的一个内积 $(-,-)$, 使得其诱导的范数即为 $|\,cdot\,|$.
[问题2018S14] 设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间, $varphi$ 是 $V$ 上的非异线性变换. 证明: $varphi$ 保持向量的夹角不变 (即对任意的非零向量 $alpha,eta$, 它们之间的夹角等于 $varphi(alpha),varphi(eta)$ 之间的夹角) 当且仅当 $varphi$ 保持向量的正交性不变 (即对任意正交的向量 $alpha,eta$, 它们的像 $varphi(alpha),varphi(eta)$ 也正交).
[问题2018S15] 设 $A,B$ 是乘法可交换的 $n$ 阶实对称阵, 且 $A,B,A+B$ 都可逆, 证明: $$(A+B)^{-1} eq A^{-1}+B^{-1}.$$
[问题2018S16] 设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$ 阶实对称阵, 满足 $a_{ij}geq 0\,(1leq i,jleq n)$. 设 $lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n$ 为 $A$ 的全体特征值, 证明: 存在某个特征值 $lambda_j=maxlimits_{1leq ileq n}|lambda_i|$.
注 本题的结论对一般的非负矩阵都成立 (即可把对称条件去掉). 具体地, 若 $A$ 是非负矩阵 (即所有元素都大于等于零), 则谱半径 $ ho(A)=maxlimits_{1leq ileq n}|lambda_i|$ 是 $A$ 的特征值, 并且可取到非负向量 (即所有元素都大于等于零) 作为对应的特征向量 (参考: Horn & Johnson, Matrix Analysis, 2nd ed., Theorem 8.3.1).