[问题2015S13] 设 (A=(a_{ij})) 为 (n) 阶实矩阵, 定义函数 [f(A)=sum_{i,j=1}^na_{ij}^2.] 设 (P) 为 (n) 阶非异实矩阵, 满足: 对任意的 (Ain M_n(mathbb{R})), 成立 [f(PAP^{-1})=f(A).] 证明: 存在非零实数 (c), 使得 (PP'=cI_n).
注 这是 [问题2014A08] 实数域上的版本，当时我们用的是基础矩阵的方法来证明的。现在，我要求大家用第九章内积空间的方法来重新证明它。以下是两种可选择的方法，请大家自行选择其中的一种来进行证明：
(1) 引入 (M_n(mathbb{R})) 上的 Frobenius 内积, 并构造一个线性算子, 然后证明它是正交算子, 并用正交算子的伴随刻画 (复旦高代书定理 9.4.2) 来证明本题;
(2) 对 (P) 进行奇异值分解 (复旦高代书推论 9.9.1), 并将 (P) 化约为对角阵的情形来证明本题.
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