八、(本题10分) 设 (A,B) 均为 (m imes n) 矩阵, 满足 (r(A+B)=r(A)+r(B)), 证明: 存在 (m) 阶非异阵 (P), (n) 阶非异阵 (Q), 使得 [PAQ=egin{pmatrix} I_r & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix},\,\,\,\,PBQ=egin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & I_s & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix}.]
证法一 (代数证法)
设 (r(A)=r), (r(B)=s), 则 (r(A+B)=r+s), 且存在 (m) 阶非异阵 (S), (n) 阶非异阵 (T), 使得 [SAT=egin{pmatrix} I_r & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix},\,\,\,\,SBT=egin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \ B_{21} & B_{22} end{pmatrix},\,\,\,\,S(A+B)T=egin{pmatrix} I_r+B_{11} & B_{12} \ B_{21} & B_{22} end{pmatrix}.] 因为 (r(A+B)=r+s), 删去 (S(A+B)T) 的前 (r) 行, 可得后 (m-r) 行的秩必大于等于 (s), 即 (r(B_{21},B_{22})geq s). 另一方面, 我们还有 (r(B_{21},B_{22})leq r(B)=s), 故 (r(B_{21},B_{22})=r(B)=s), 从而 ((B_{21},B_{22})) 的行向量的极大无关组也是 (SBT) 的行向量组的极大无关组. 因此利用 (SBT) 的后 (m-r) 行的初等行变换可以消去 (SBT) 的前 (r) 行, 同理可证利用 (SBT) 的后 (n-r) 列的初等列变换可以消去 (SBT) 的前 (r) 列, 即存在 (m) 阶非异阵 (U), (n) 阶非异阵 (V), 使得 [USATV=egin{pmatrix} I_r & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix},\,\,\,\,USBTV=egin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & B_{22} end{pmatrix}.] 此时存在 (m-r) 阶非异阵 (C), (n-r) 阶非异阵 (D), 使得 (CB_{22}D=egin{pmatrix} I_s & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix}). 令 [P=egin{pmatrix} I_r & 0 \ 0 & C end{pmatrix}US,\,\,\,\,Q=TVegin{pmatrix} I_r & 0 \ 0 & D end{pmatrix},] 则 (P) 为 (m) 阶非异阵, (Q) 为 (n) 阶非异阵且满足题目结论.
证法二 (几何证法)
把题目转换成几何的语言: 设 (V=mathbb{K}^n) 为 (n) 维列向量空间, (U=mathbb{K}^m) 为 (m) 维列向量空间, (varphi_A,varphi_B:V o U) 分别是矩阵 (A,B) 左乘诱导的线性映射, 满足 (r(varphi_A+varphi_B)=r(varphi_A)+r(varphi_B)), 证明: 存在 (V) 的一组基, (U) 的一组基, 使得 (varphi_A,varphi_B) 在这两组基下的表示矩阵分别是 [egin{pmatrix} I_r & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix},\,\,\,\,egin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & I_s & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix}.]
设 (r(A)=r), (r(B)=s), 则 (r(A+B)=r+s). 注意到 [r(A+B)leq regin{pmatrix} A \ B end{pmatrix}leq r(A)+r(B),] 因此 (regin{pmatrix} A \ B end{pmatrix}=r+s), 从而 (dim(mathrm{Ker\,}varphi_Acapmathrm{Ker\,}varphi_B)=n-(r+s)). 由子空间的维数公式可得 [dim(mathrm{Ker\,}varphi_A+mathrm{Ker\,}varphi_B)=(n-r)+(n-s)-(n-r-s)=n,] 故有 (V=mathrm{Ker\,}varphi_A+mathrm{Ker\,}varphi_B). 另一方面, 注意到 [r(A+B)=dimmathrm{Im\,}(varphi_A+varphi_B)leq dim(mathrm{Im\,}varphi_A+mathrm{Im\,}varphi_B)leq dimmathrm{Im\,}varphi_A+dimmathrm{Im\,}varphi_A=r(A)+r(B),] 因此 [mathrm{Im\,}(varphi_A+varphi_B)=mathrm{Im\,}varphi_A+mathrm{Im\,}varphi_B=mathrm{Im\,}varphi_Aoplusmathrm{Im\,}varphi_B.cdots(1)]
取 (mathrm{Ker\,}varphi_Acapmathrm{Ker\,}varphi_B) 的一组基 ({e_{r+s+1},cdots,e_n}), 将其扩张为 (mathrm{Ker\,}varphi_A) 的一组基 ({e_{r+1},cdots,e_n}), 再将其扩张为 (mathrm{Ker\,}varphi_B) 的一组基 ({e_1,cdots,e_r,e_{r+s+1},cdots,e_n}). 根据复旦高代书第 160 页子空间维数公式的证明过程可知: ({e_1,cdots,e_n}) 恰好是 (V=mathrm{Ker\,}varphi_A+mathrm{Ker\,}varphi_B) 的一组基. 根据线性映射维数公式的另一个直接证明 (我在第四章复习时讲过) 可知: ({Ae_1,cdots,Ae_r}) 是 (mathrm{Im\,}varphi_A) 的一组基, ({Be_{r+1},cdots,Be_{r+s}}) 是 (mathrm{Im\,}varphi_B) 的一组基. 又由 (1) 可知 ({Ae_1,cdots,Ae_r,Be_{r+1},cdots,Be_{r+s}}) 线性无关, 故可扩张为 (U) 的一组基 ({Ae_1,cdots,Ae_r,Be_{r+1},cdots,Be_{r+s},f_{r+s+1},cdots,f_m}).
最后容易验证: (varphi_A,varphi_B) 在 (V) 的一组基 ({e_1,cdots,e_n}) 和 (U) 的一组基 ({Ae_1,cdots,Ae_r,Be_{r+1},cdots,Be_{r+s},f_{r+s+1},cdots,f_m}) 下的表示矩阵即为所要求的矩阵. (Box)