七、(本题10分) 设 (V) 为数域 (mathbb{K}) 上的 (n) 维线性空间, (S={v_1,v_2,cdots,v_m}) 为 (V) 中的向量组, 定义集合 (R_S={(a_1,a_2,cdots,a_m)inmathbb{K}^m\,|\,a_1v_1+a_2v_2+cdots+a_mv_m=0}). 再取 (V) 中的向量组 (T={u_1,u_2,cdots,u_m}). 证明:
(1) (R_S) 是 (mathbb{K}^m) 的线性子空间;
(2) 存在线性变换 (varphi) 使得 (varphi(v_i)=u_i\,(1leq ileq m)) 的充分必要条件是 (R_Ssubseteq R_T);
(3) 存在线性自同构 (varphi) 使得 (varphi(v_i)=u_i\,(1leq ileq m)) 的充分必要条件是 (R_S=R_T).
证法一 (几何方法)
(1) 显然 (0in R_S). 任取 (alpha,etain R_S), (kinmathbb{K}), 容易验证 (alpha+etain R_S), (kalphain R_S), 因此 (R_S) 是 (mathbb{K}^m) 的线性子空间.
(2) 必要性: 由 (varphi) 的线性验证即得. 充分性: 不妨设 ({v_1,cdots,v_r}) 是向量组 (S) 的极大无关组, 并将其扩张为 (V) 的一组基 ({v_1,cdots,v_r,e_{r+1},cdots,e_n}). 由线性扩张定理, 定义 (varphi(v_i)=u_i\,(1leq ileq r)), (varphi(e_j)=0\,(r+1leq jleq n)), 并将 (varphi) 扩张为 (V) 上的线性变换. 对任一 (v_j\,(r+1leq jleq m)), 设 (v_j=lambda_1v_1+cdots+lambda_rv_r), 则 ((lambda_1,cdots,lambda_r,0,cdots,0,-1,0,cdots,0)in R_S). 由 (R_Ssubseteq R_T) 可知 (u_j=lambda_1u_1+cdots+lambda_ru_r). 因此 [varphi(v_j)=varphi(sum_{i=1}^rlambda_iv_i)=sum_{i=1}^rlambda_ivarphi(v_i)=sum_{i=1}^rlambda_iu_i=u_j\,\,(r+1leq jleq m).]
(3) 必要性: 由 (varphi,varphi^{-1}) 的线性验证即得. 充分性: 不妨设 ({v_1,cdots,v_r}) 是向量组 (S) 的极大无关组, 并将其扩张为 (V) 的一组基 ({v_1,cdots,v_r,e_{r+1},cdots,e_n}). 利用与 (2) 相同的证明可得: 若 (v_j=lambda_1v_1+cdots+lambda_rv_r), 则 (u_j=lambda_1u_1+cdots+lambda_ru_r\,(r+1leq jleq m)). 设 (mu_1u_1+cdots+mu_ru_r=0), 则 ((mu_1,cdots,mu_r,0,cdots,0)in R_T). 由 (R_S=R_T) 可知 (mu_1v_1+cdots+mu_rv_r=0). 又 ({v_1,cdots,v_r}) 线性无关, 故 (mu_1=cdots=mu_r=0). 因此 ({u_1,cdots,u_r}) 是向量组 (T) 的极大无关组, 将其扩张为 (V) 的一组基 ({u_1,cdots,u_r,f_{r+1},cdots,f_n}). 由线性扩张定理, 定义 (varphi(v_i)=u_i\,(1leq ileq r)), (varphi(e_j)=f_j\,(r+1leq jleq n)), 并将 (varphi) 扩张为 (V) 上的线性变换. 因为 (varphi) 把基映到基, 故 (varphi) 为线性自同构. 利用与 (2) 相同的证明可得 (varphi(v_j)=u_j\,(r+1leq jleq m)).
证法二 (代数方法)
取定 (V) 的一组基 ({e_1,e_2,cdots,e_n}), 则有 (V) 到 (n) 维列向量空间 (mathbb{K}_n) 的线性同构 (eta: V omathbb{K}_n), 它将 (vin V) 映到 (v) 关于基 ({e_1,e_2,cdots,e_n}) 的坐标向量. 设 (alpha_i=eta(v_i)), (eta_i=eta(u_i)\,(1leq ileq m)), 则 (alpha_i,eta_i) 都是 (n) 维列向量. 按列分块构造 (n imes m) 阶矩阵 [A=(alpha_1,alpha_2cdots,alpha_m),\,\,\,\,B=(eta_1,eta_2cdots,eta_m).] 在线性同构的意义下, (R_S) 等同于线性方程组 (Ax=0) 的解空间 (V_A), (R_T) 等同于线性方程组 (Bx=0) 的解空间 (V_B), 其中 (x=(x_1,x_2,cdots,x_m)'). 因此在线性同构的意义下, 本题等价于证明如下结论:
(1) 线性方程组 (Ax=0) 的解空间 (V_A) 是 (mathbb{K}_m) 的子空间;
(2) 存在 (n) 阶方阵 (P) 使得 (PA=B) 的充分必要条件是 (V_Asubseteq V_B);
(3) 存在 (n) 阶非异阵 (P) 使得 (PA=B) 的充分必要条件是 (V_A=V_B).
证明 (1) 是显然的. (2) 在期末复习时我讲过一个几何的证明; 它的代数证明也很简单, 只要从 (Ax=0) 和 (egin{pmatrix} A \ B end{pmatrix}x=0) 同解即可得到 (B) 的行向量是 (A) 的行向量的线性组合. (3) 即为复旦高代书第 208 页复习题38, 解答可参考复旦高代白皮书第 121 页例 4.17, 在第四章复习时我也仔细讲过这个证明; 它的代数证明也很简单, 只要从 (Ax=0) 和 (egin{pmatrix} A \ B end{pmatrix}x=0) 和 (Bx=0) 同解即可得到 (B) 的行向量的极大无关组和 (A) 的行向量的极大无关组等价, 由此即可构造出非异阵 (P). (Box)