[问题2014A13] 解答
先引入两个简单的结论.
结论 1 设 (varphi) 是 (n) 维线性空间 (V) 上的线性变换, 若存在正整数 (k), 使得 (mathrm{r}(varphi^k)=mathrm{r}(varphi^{k+1})), 则 [mathrm{Im\,}varphi^k=mathrm{Im\,}varphi^{k+1}=mathrm{Im\,}varphi^{k+2}=cdots.]
结论 1 的证明 对任意的正整数 (k), 显然有 (mathrm{Im\,}varphi^ksupseteqmathrm{Im\,}varphi^{k+1}), 故由 (mathrm{r}(varphi^k)=mathrm{r}(varphi^{k+1})) 即得 (mathrm{Im\,}varphi^k=mathrm{Im\,}varphi^{k+1}). 因此, 我们只要证明对任意的正整数 (lgeq k), (mathrm{Im\,}varphi^l=mathrm{Im\,}varphi^{l+1}) 即可. 一方面的包含是显然的, 现证 (mathrm{Im\,}varphi^lsubseteqmathrm{Im\,}varphi^{l+1}). 任取 (varphi^l(alpha)inmathrm{Im\,}varphi^l), 则 (varphi^l(alpha)=varphi^{l-k}(varphi^k(alpha))). 又存在 (etain V), 使得 (varphi^k(alpha)=varphi^{k+1}(eta)), 从而 (varphi^l(alpha)=varphi^{l-k}(varphi^{k+1}(eta))=varphi^{l+1}(eta)inmathrm{Im\,}varphi^{l+1}).
结论 2 设 (varphi,psi) 是 (n) 维线性空间 (V) 上的线性变换, 则 (mathrm{r}(varphipsi)geq mathrm{r}(varphi)+mathrm{r}(psi)-n).
结论 2 的证明 这就是关于秩的 Sylvester 不等式, 可参考复旦高代书第 201 页习题 7.
回到本题的证明. 由假设存在充分大的正整数 (N), 使得 (varphi^N=0). 下面用归纳法来证明 (mathrm{r}(varphi^k)=n-k), (1leq kleq n). (k=1) 时就是题中假设. 设 (mathrm{r}(varphi^k)=n-k), 其中 (1leq k<n), 现证 (mathrm{r}(varphi^{k+1})=n-(k+1)). 由结论 2 知 [mathrm{r}(varphi^{k+1})=mathrm{r}(varphi^k varphi)geq mathrm{r}(varphi^k)+mathrm{r}(varphi)-n=n-(k+1).] 又 (mathrm{r}(varphi^{k+1})leq mathrm{r}(varphi^k)=n-k), 若 (mathrm{r}(varphi^{k+1})=mathrm{r}(varphi^k)=n-k), 则由结论 1 知 (0 eq n-k=mathrm{r}(varphi^k)=mathrm{r}(varphi^N)=0), 矛盾. 因此只能是 (mathrm{r}(varphi^{k+1})=n-(k+1)), 从而结论得证. 特别地, 我们知道 (r(varphi^{n-1})=1) 并且 (varphi^n=0). 取 (alphain V) 使得 (varphi^{n-1}(alpha) eq 0), 但 (varphi^n(alpha)=0). 最后由复旦高代书第 206 页复习题 13 可知 (alpha,varphi(alpha),cdots,varphi^{n-1}(alpha)) 是 (V) 的一组基, 从而 [V=L(alpha,varphi(alpha),cdots,varphi^{n-1}(alpha),varphi^n(alpha),cdots).\,\,\,Box]
注 在学了矩阵的 Jordan 标准形理论之后, 我们可以给出 [问题2014A13] 的一个十分简洁的代数证明.