[问题2014A09] 解答
通过简单的计算可得 [(AB)^2=9AB,cdotscdots(1)] 将 (1) 式的右边移到左边, 并将 (A,B) 分别提出可得 [A(BA-9I_2)B=0.cdotscdots(2)] 下面给出两种方法来讨论.
方法一 通过简单的计算可得 (mathrm{rank}(AB)=2), 从而 (mathrm{rank}(A)geq 2); 又 (A) 是 (3 imes 2) 矩阵, 故 (mathrm{rank}(A)leq 2), 于是 (mathrm{rank}(A)=2), 即 (A) 是列满秩阵. 根据复旦高代书第 145 页习题 11 知, 存在 (2 imes 3) 矩阵 (C), 使得 (CA=I_2). 同理可证: (mathrm{rank}(B)=2), 即 (B) 是行满秩阵, 从而存在 (3 imes 2) 矩阵 (D), 使得 (BD=I_2). 在 (2) 式两边左乘 (C), 右乘 (D) 可得 [BA=9I_2.]
方法二 (由张诚纯同学提供) 在 (2) 式左乘 (B), 右乘 (A) 可得 [BA(BA-9I_2)BA=0.cdotscdots(3)] 下面我们用 Cauchy-Binet 公式来计算 (BA) 的行列式: egin{eqnarray*}|BA|&=&sum_{1leq i<jleq 3}Begin{pmatrix} 1 & 2 \ i & j end{pmatrix}Aegin{pmatrix} i & j \ 1 & 2 end{pmatrix}=sum_{1leq i<jleq 3}Aegin{pmatrix} i & j \ 1 & 2 end{pmatrix}Begin{pmatrix} 1 & 2 \ i & j end{pmatrix}\&=&sum_{1leq i<jleq 3}(AB)egin{pmatrix} i & j \ i & j end{pmatrix}=egin{vmatrix} 8 & 2 \ 2 & 5 end{vmatrix}+egin{vmatrix} 8 & -2 \ -2 & 5 end{vmatrix}+egin{vmatrix} 5 & 4 \ 4 & 5 end{vmatrix}\&=&81.end{eqnarray*} 因此 (BA) 是非异阵, 在 (3) 式的两边都消去 (BA) 后可得 [BA=9I_2.\,\,\,Box]
注 (1) 在学了高代 II 的特征值之后, 我们容易得到 (AB) 的特征值是 9 (2 重), 0 (1 重), 由复旦高代书第 270 页习题 8 可得 (BA) 的特征值是 9 (2 重), 从而 (BA) 是非异阵. 如果限定在高代 I 的范围内, 张诚纯同学给出的用 Cauchy-Binet 公式计算 (BA) 行列式的方法可以直接证明 (BA) 非异.
(2) 本题和 [问题2014S05] 密切相关, 特别是其中的引理, 可以用来给出本题的第三种解法 (由于篇幅关系, 不再阐述), 具体细节请参考 [问题2014S05] 解答. 不过在解答的过程中需要事先确定 (lambda_0=9), 这需要一定的观察才能得到.
(3) 从严格的角度来说, 最后我们还需要说明: 满足上述条件的 (A,B) 一定是存在的. 其实, 这样的例子有很多, 比如: [A=B'=egin{pmatrix} frac{6}{sqrt{5}} & -frac{2}{sqrt{5}} \ frac{3}{sqrt{5}} & frac{4}{sqrt{5}} \ 0 & sqrt{5} end{pmatrix}.]