[问题2014A08] 解答
由假设知 (f(A)=mathrm{tr}(AA')), 因此 [f(PAP^{-1})=mathrm{tr}(PAP^{-1}(P')^{-1}A'P')=mathrm{tr}((P'P)A(P'P)^{-1}A')=mathrm{tr}(AA').cdots(1)] 以下设 (P'P=(c_{ij})), ((P'P)^{-1}=(d_{ij})). 注意 (P'P) 是对称阵, 后面要用到. 令 (A=E_{ij}) 并代入 (1) 式, 其中 (E_{ij}) 是第 ((i,j)) 元素为 1, 其余元素为 0 的基础矩阵, 则通过简单的计算可得 [c_{ii}d_{jj}=1,\,\,forall\,i,j.cdots(2)] 再令 (A=E_{ij}+E_{kl}) 并代入 (1) 式, 则通过简单的计算可得 [c_{ii}d_{jj}+c_{kk}d_{ll}+c_{ki}d_{jl}+c_{ik}d_{lj}=2+2delta_{ik}delta_{jl},cdots(3)] 其中 (delta_{ik}) 是 Kronecker 符号. 综合 (2) 式和 (3) 式可得 [c_{ki}d_{jl}+c_{ik}d_{lj}=2delta_{ik}delta_{jl}.cdots(4)] 在(4) 式中令 (j=l), (i eq k), 并注意到 (d_{jj} eq 0), 故有 (c_{ik}+c_{ki}=0). 又因为 (c_{ik}=c_{ki}), 故 [c_{ik}=0,\,\,forall\,i eq k.] 于是 (P'P) 是一个对角阵, 从而 (d_{jj}=c_{jj}^{-1}), 带入 (1) 式可得 [c_{ii}=c_{jj},\,\,forall\,i,j.] 因此 (P'P=cI_n) 是一个纯量阵. (Box)