[问题2014A02] 解答一（两次升阶法，由张钧瑞同学、董麒麟同学提供）
将原行列式 (|A|) 升阶，考虑如下 (n+1) 阶行列式:
[|B|=egin{vmatrix} 1 & -a_1 & -a_2 & cdots & -a_{n-1} & -a_n \ 0 & 0 & a_1+a_2 & cdots & a_1+a_{n-1} & a_1+a_n \ 0 & a_2+a_1 & 0 & cdots & a_2+a_{n-1} & a_2+a_n \ vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & vdots \ 0 & a_{n-1}+a_1 & a_{n-1}+a_2 & cdots & 0 & a_{n-1}+a_n \ 0 & a_n+a_1 & a_n+a_2 & cdots & a_n+a_{n-1} & 0 end{vmatrix},]
显然 (|A|=|B|). 将 (|B|) 的第一行分别加到余下的 (n) 行上，可得
[|B|=egin{vmatrix} 1 & -a_1 & -a_2 & cdots & -a_{n-1} & -a_n \ 1 & -a_1 & a_1 & cdots & a_1 & a_1 \ 1 & a_2 & -a_2 & cdots & a_2 & a_2 \ vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & vdots \ 1 & a_{n-1} & a_{n-1} & cdots & -a_{n-1} & a_{n-1} \ 1 & a_n & a_n & cdots & a_n & -a_n end{vmatrix}.]
再次将上述行列式升阶，考虑如下 (n+2) 阶行列式:
[|C|=egin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0 \ 0 & 1 & -a_1 & -a_2 & cdots & -a_{n-1} & -a_n \ -a_1 & 1 & -a_1 & a_1 & cdots & a_1 & a_1 \ -a_2 & 1 & a_2 & -a_2 & cdots & a_2 & a_2 \ vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & vdots \ -a_{n-1} & 1 & a_{n-1} & a_{n-1} & cdots & -a_{n-1} & a_{n-1} \ -a_n & 1 & a_n & a_n & cdots & a_n & -a_n end{vmatrix},]
显然 (|A|=|B|=|C|). 将 (|C|) 的第一列分别加到最后的 (n) 列上，可得
[|C|=egin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & cdots & 1 & 1 \ 0 & 1 & -a_1 & -a_2 & cdots & -a_{n-1} & -a_n \ -a_1 & 1 & -2a_1 & 0 & cdots & 0 & 0 \ -a_2 & 1 & 0 & -2a_2 & cdots & 0 & 0 \ vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & vdots \ -a_{n-1} & 1 & 0 & 0 & cdots & -2a_{n-1} & 0 \ -a_n & 1 & 0 & 0 & cdots & 0 & -2a_n end{vmatrix}.]
上述行列式是典型的爪型行列式 (参考高代白皮书第 6 页的例 1.2)，只要利用非零主对角元将爪的一边消去，变成 (分块) 上 (下) 三角行列式即可求值出来了. 我们选择消去前两列的爪边. 在上述行列式中, 将第 (i) 列 ((i=3,4,cdots,n+2)) 乘以 (-frac{1}{2}) 都加到第一列上，再将第 (i) 列 ((i=3,4,cdots,n+2)) 乘以 (frac{1}{2a_{i-2}}) 都加到第二列上，可得
[|C|=egin{vmatrix} 1-frac{n}{2} & frac{T}{2} & 1 & 1 & cdots & 1 & 1 \ frac{S}{2} & 1-frac{n}{2} & -a_1 & -a_2 & cdots & -a_{n-1} & -a_n \ 0 & 0 & -2a_1 & 0 & cdots & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & -2a_2 & cdots & 0 & 0 \ vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & vdots & vdots \ 0 & 0 & 0 & 0 & cdots & -2a_{n-1} & 0 \ 0 & 0 & 0 & 0 & cdots & 0 & -2a_n end{vmatrix},]
其中 (S=a_1+a_2+cdots+a_n), (T=frac{1}{a_1}+frac{1}{a_2}+cdots+frac{1}{a_n}). 注意到上述行列式是分块上三角行列式, 从而可得
[|A|=|C|=(-2)^{n-2}prod_{i=1}^na_iigg((n-2)^2-Big(sum_{i=1}^na_iBig)Big(sum_{i=1}^nfrac{1}{a_i}Big)igg). quadBox]