[问题2014A01] 解答一（第一列拆分法，由张钧瑞同学提供）
(1) 当 (a=0) 时，这是高代书复习题一第 33 题，可用升阶法和 Vander Monde 行列式来求解，其结果为
[|A|=prod_{1leq i<jleq n}(x_j-x_i)Big(sum_{i=1}^nx_1cdotshat{x}_icdots x_nBig),]
其中 (hat{x}_i) 表示 (x_i) 不在其中.
(2) 当 (a eq 0) 时，我们有
[|A|=frac{1}{a}egin{vmatrix} a & x_1(x_1-a) & x_1^2(x_1-a) & cdots & x_1^{n-1}(x_1-a) \ a & x_2(x_2-a) & x_2^2(x_2-a) & cdots & x_2^{n-1}(x_2-a) \ vdots & vdots & vdots & vdots & vdots \ a & x_n(x_n-a) & x_n^2(x_n-a) & cdots & x_n^{n-1}(x_n-a) end{vmatrix}]
[=frac{1}{a}egin{vmatrix} x_1-(x_1-a) & x_1(x_1-a) & x_1^2(x_1-a) & cdots & x_1^{n-1}(x_1-a) \ x_2-(x_2-a) & x_2(x_2-a) & x_2^2(x_2-a) & cdots & x_2^{n-1}(x_2-a) \ vdots & vdots & vdots & vdots & vdots \ x_n-(x_n-a) & x_n(x_n-a) & x_n^2(x_n-a) & cdots & x_n^{n-1}(x_n-a) end{vmatrix}.]
按第一列拆分成两个行列式之差，有
[|A|=frac{1}{a}egin{vmatrix} x_1 & x_1(x_1-a) & x_1^2(x_1-a) & cdots & x_1^{n-1}(x_1-a) \ x_2 & x_2(x_2-a) & x_2^2(x_2-a) & cdots & x_2^{n-1}(x_2-a) \ vdots & vdots & vdots & vdots & vdots \ x_n & x_n(x_n-a) & x_n^2(x_n-a) & cdots & x_n^{n-1}(x_n-a) end{vmatrix}-frac{1}{a}egin{vmatrix} x_1-a & x_1(x_1-a) & x_1^2(x_1-a) & cdots & x_1^{n-1}(x_1-a) \ x_2-a & x_2(x_2-a) & x_2^2(x_2-a) & cdots & x_2^{n-1}(x_2-a) \ vdots & vdots & vdots & vdots & vdots \ x_n-a & x_n(x_n-a) & x_n^2(x_n-a) & cdots & x_n^{n-1}(x_n-a) end{vmatrix}.]
对于上面第一个行列式，将第一列乘以 (a) 加到第二列上；然后将第二列乘以 (a) 加到第三列上；(cdots)；然后将第 (n-1) 列乘以 (a) 加到第 (n) 列上；最后将第 (i) 行提出公因子 (x_i)，可化为 Vander Monde 行列式. 对于上面第二个行列式，将第 (i) 行提出公因子 (x_i-a)，可化为 Vander Monde 行列式. 因此，我们有
[|A|=frac{1}{a}x_1cdots x_negin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & cdots & x_1^{n-1} \ 1 & x_2 & x_2^2 & cdots & x_2^{n-1} \ vdots & vdots & vdots & vdots & vdots \ 1 & x_n & x_n^2 & cdots & x_n^{n-1} end{vmatrix}]
[-frac{1}{a}(x_1-a)cdots(x_n-a)egin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & cdots & x_1^{n-1} \ 1 & x_2 & x_2^2 & cdots & x_2^{n-1} \ vdots & vdots & vdots & vdots & vdots \ 1 & x_n & x_n^2 & cdots & x_n^{n-1} end{vmatrix}]
[=frac{1}{a}Big(x_1cdots x_n-(x_1-a)cdots(x_n-a)Big)prod_{1leq i<jleq n}(x_j-x_i). quadBox]
注 (a eq 0) 时的结果，虽然表面上 (a) 出现在分母中 (只是为了看上去简洁)，但它其实是一个关于 (a) 的多项式 (展开后即知)，此时若令 (a=0)，马上可以得到 (a=0) 时的结果. 这说明 (a eq 0) 时的结果和 (a=0) 时的结果可以统一起来. 为什么会发生这种情况呢？感兴趣的同学可以参考如下教学论文《文字行列式求值中的两个技巧》。