[问题2014S04] 解答 由于 (A) 可对角化, 可设 (alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_ninmathbb{C}^n) 是 (A) 的 (n) 个线性无关的特征向量, 即有[Aalpha_i=lambda_ialpha_i,\,i=1,2,cdots,n,] 其中 (lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n) 是 (A) 的 (n) 个特征值.
构造 (2n) 维列向量如下: [eta_i=egin{bmatrix}alpha_i \ alpha_i end{bmatrix},\,eta_{n+i}=egin{bmatrix}alpha_i \ -alpha_i end{bmatrix},\,i=1,2,cdots,n. ] 容易验证 (eta_1,cdots,eta_n,eta_{n+1},cdots,eta_{2n}inmathbb{C}^{2n}) 是 (2n) 个线性无关的列向量.
注意到如下事实: [Beta_i=egin{bmatrix} A & f(A) \ f(A) & A end{bmatrix}egin{bmatrix}alpha_i \ alpha_i end{bmatrix}=(lambda_i+f(lambda_i))egin{bmatrix}alpha_i \ alpha_i end{bmatrix}=(lambda_i+f(lambda_i))eta_i,] [Beta_{n+i}=egin{bmatrix} A & f(A) \ f(A) & A end{bmatrix}egin{bmatrix}alpha_i \ -alpha_i end{bmatrix}=(lambda_i-f(lambda_i))egin{bmatrix}alpha_i \ -alpha_i end{bmatrix}=(lambda_i-f(lambda_i))eta_{n+i},] 即 (eta_1,cdots,eta_n,eta_{n+1},cdots,eta_{2n}) 是 (B) 的 (2n) 个线性无关的特征向量, 因此 (B) 可对角化. (Box)