问题2014S02 设实系数多项式 egin{eqnarray*}f(x) &=& a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+cdots+a_1x+a_0, \ g(x) &=& b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+cdots+b_1x+b_0, end{eqnarray*} 其中 (a_nb_m eq 0), (ngeq 1), (mgeq 1). 设 (t) 为实变元, [g_t(x)=b_mx^m+(b_{m-1}+t)x^{m-1}+cdots+(b_1+t^{m-1})x+(b_0+t^m).] 证明: 存在正数 (delta), 使得对任意的 (0<|t|<delta), (f(x)) 都与 (g_t(x)) 互素.
注 事实上, (g_t(x)) 是 (g(x)) 的扰动, 即 (g_0(x)=g(x)). 上述问题告诉我们, 即使 (f(x)) 与 (g(x)) 不互素, 我们也可以做一个微小的扰动 (g_t(x)), 使得 (f(x)) 与 (g_t(x)) 互素.