七、（本题10分）设 (A) 为数域 (K) 上的 (n) 阶非异阵, 证明: 对任意的对角阵 (Bin M_n(K)), (A^{-1}BA) 均为对角阵的充分必要条件是 (A=P_1P_2cdots P_r), 其中 (P_i) 均为第一类初等阵 (即对换 (I_n) 的某两行) 或第二类初等阵 (即非零常数乘以 (I_n) 的某一行).
证明 充分性通过简单验证即可证明. 现证必要性, 设 (A=(a_{ij})_{n imes n}), 取 (B=mathrm{diag}{1,2,cdots,n}), 设 (A^{-1}BA=C=mathrm{diag}{d_1,d_2,cdots,d_n}). 由 (BA=AC) 知对任意的 (i，j) 成立: [ia_{ij}=d_ja_{ij}.]
因为 (A) 的每个列向量均非零, 故对任意的 (1leq jleq n), 存在某个行指标 (i_j) 使得 (a_{i_j j} eq 0). 由上述条件可得 [d_j=i_j,\,\,forall\,1leq jleq n.]
再次带入上述条件可得[a_{ij}=0,\,\,forall\,i eq i_j,\,1leq jleq n.]
由 (A) 的非异性知 (A) 的列向量线性无关, 从而 (i_1,i_2,cdots,i_n) 是 (1,2,cdots,n) 的全排列, 故通过若干次行对换可将 (A) 变为对角阵且主对角线上元素非零; 再通过若干次第二类初等行变换可将矩阵变为单位阵 (I_n), 故 (A) 是第一类初等阵和第二类初等阵的乘积. (Box)