八、(10分) 设 $M_n(mathbb{C})$ 是 $n$ 阶复方阵全体构成的线性空间, $M_n(mathbb{C})$ 上的线性变换 $varphi$ 定义为 $varphi(X)=AX'A'$, 其中 $Ain M_n(mathbb{C})$. 证明: $varphi$ 可对角化的充要条件是 $A$ 可对角化.
证法一 先证充分性. 设 $A$ 可对角化, 则 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量, 设为 $alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_ninmathbb{C}^n$, 对应的特征值为 $lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n$, 即有 $Aalpha_i=lambda_ialpha_i\,(1leq ileq n)$. 注意到 $$varphi(alpha_ialpha_j')=A(alpha_ialpha_j')'A'=(Aalpha_j)(Aalpha_i)'=lambda_ilambda_jalpha_jalpha_i',$$ 于是 $$(*)quadleft{egin{array}{ll} varphi(alpha_ialpha_i')=lambda_i^2alpha_ialpha_i' & (1leq ileq n); \ varphi(alpha_ialpha_j'+alpha_jalpha_i')=lambda_ilambda_j(alpha_ialpha_j'+alpha_jalpha_i') & (1leq i<jleq n); \ varphi(alpha_ialpha_j'-alpha_jalpha_i')=-lambda_ilambda_j(alpha_ialpha_j'-alpha_jalpha_i') & (1leq i<jleq n).\ end{array} ight.$$ 令 $P=(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)in M_n(mathbb{C})$, 则 $P$ 为非异阵. 构造线性变换 $xi:M_n(mathbb{C}) o M_n(mathbb{C})$, $xi(X)=PXP'$, 由 $P$ 的非异性可知 $xi$ 是线性同构. 设 $E_{ij}\,(1leq i,jleq n)$ 为基础矩阵, 则容易验证 ${E_{ii}\,(1leq ileq n);\,E_{ij}+E_{ji}\,(1leq i<jleq n);\,E_{ij}-E_{ji}\,(1leq i<jleq n)}$ 是 $M_n(mathbb{C})$ 的一组基, 并且 $xi(E_{ii})=alpha_ialpha_i'$, $xi(E_{ij}+E_{ji})=alpha_ialpha_j'+alpha_jalpha_i'$, $xi(E_{ij}-E_{ji})=alpha_ialpha_j'-alpha_jalpha_i'$, 于是 ${alpha_ialpha_i'\,(1leq ileq n);\,alpha_ialpha_j'+alpha_jalpha_i'\,(1leq i<jleq n);\,alpha_ialpha_j'-alpha_jalpha_i'\,(1leq i<jleq n)}$ 也是 $M_n(mathbb{C})$ 的一组基. 因此, $(*)$ 式表明 $varphi$ 有 $n^2$ 个线性无关的特征向量, 从而 $varphi$ 可对角化.
再证必要性. 设 $varphi$ 可对角化, 用反证法, 设 $A$ 不可对角化, 则存在非异阵 $P=(alpha_1,alpha_2,cdots,alpha_n)$, 使得 $P^{-1}AP=mathrm{diag}{J_{r_1}(lambda_1),J_{r_2}(lambda_2),cdots,J_{r_k}(lambda_k)}$ 为 Jordan 标准型, 并且至少有一个 Jordan 块的阶数大于 1. 不妨设 $r_1>1$, 则有如下关系式: $$Aalpha_1=lambda_1alpha_1,\,\,Aalpha_2=alpha_1+lambda_1alpha_2,\,\,cdots,\,\,Aalpha_{r_1}=alpha_{r_1-1}+lambda_1alpha_{r_1}.$$ 令 $U=L(alpha_ialpha_i'\,(1leq ileq r_1),\,alpha_ialpha_j'+alpha_jalpha_i'\,(1leq i<jleq r_1))$, 则容易验证 $U$ 是 $varphi$-不变子空间, 于是 $varphi|_U$ 可对角化. 注意到 ${alpha_ialpha_i'\,(1leq ileq r_1),\,alpha_ialpha_j'+alpha_jalpha_i'\,(1leq i<jleq r_1)}$ 是 $U$ 的一组基, 在适当地调整基向量的次序后 (见注 2), 可得 $varphi|_U$ 在这组基下的表示矩阵为上三角阵, 其主对角元素全为 $lambda_1^2$, 并且主对角线上方至少有一个非零元素 1, 显然这是一个不可对角化的矩阵, 这与 $varphi|_U$ 可对角化矛盾.
证法二 构造线性变换 $psi:M_n(mathbb{C}) o M_n(mathbb{C})$, $psi(X)=AXA'$, 我们来证明 $varphi$ 可对角化当且仅当 $psi$ 可对角化. 设 $V$ 是由 $n$ 阶复对称阵构成的子空间, $U$ 是由 $n$ 阶复反对称阵构成的子空间, 由白皮书的例 3.48 可知 $M_n(mathbb{C})=Voplus U$. 容易验证 $U,V$ 都是 $varphi$-不变以及 $psi$-不变子空间, 并且 $varphi|_V=psi|_V$, $varphi|_U=-psi|_U$, 因此 $varphi$ 可对角化当且仅当 $varphi|_V,varphi|_U$ 均可对角化, 这也当且仅当 $psi|_V,psi|_U$ 均可对角化, 从而当且仅当 $psi$ 可对角化.
证明 $psi$ 可对角化的充要条件是 $A$ 可对角化, 这是复旦大学数学科学学院 2016 级高等代数 II 期中考试第七大题. 我们可以利用特征向量的方法 (类似于上面的证法一), 也可以利用矩阵 Kronecker 积的方法来进行证明, 具体的证明细节请参考“复旦大学高等代数习题课在线课程”中的高代 2 第 11 讲以及高代 2 第 16 讲, 这里不再赘述. $Box$
注 1 本题没有同学证出必要性, 证出充分性的同学共有 10 人, 分别是: 徐赟程, 梅明家, 许佳敏, 钱邓鹏, 杨奕辰, 于泰来, 韦晓骅, 丁嘉栋, 李沐择, 刘继升.
注 2 为方便起见, 记基向量 $alpha_ialpha_i'$ 为 $(i)$, $alpha_ialpha_j'+alpha_jalpha_i'$ 为 $(i,j)$, 则可将基向量的次序调整为 $$(1),\,(1,2),\,(2),\,(1,3),\,(2,3),\,(3),\,cdots,\,(r-1),\,(1,r),\,(2,r),\,(3,r),\,cdots,\,(r-1,r),\,(r).$$ 例如, 当 $r_1=3$ 时, $varphi$ 在上述顺序的基向量下的表示矩阵为 $$egin{pmatrix} lambda_1^2 & 2lambda_1 & 1 & 0 & 0 & 0 \ & lambda_1^2 & lambda_1 & lambda_1 & 1 & 0 \ & & lambda_1^2 & 0 & 2lambda_1 & 1 \ & & & lambda_1^2 & lambda_1 & 0 \ & & & & lambda_1^2 & lambda_1 \ & & & & & lambda_1^2 \ end{pmatrix}.$$