本文将给出第十二届全国大学生数学竞赛初赛数学类 A 卷的两道高等代数试题详细的思路分析及其推广.
第三大题 设 $A,B$ 均为 2020 阶正交矩阵, 齐次线性方程组 $Ax=Bx\,(xinmathbb{R}^{2020})$ 的解空间维数为 3. 问: 矩阵 $A,B$ 是否可能相似? 证明你的结论.
思路分析 若矩阵 $A,B$ 相似, 即存在非异阵 $P$, 使得 $B=P^{-1}AP$, 则 $mathrm{tr}(A)=mathrm{tr}(B)$ 且 $|A|=|B|$. 更一般地, $A,B$ 有相同的特征多项式, 从而有相同的特征值, 而矩阵的迹和行列式只是特征多项式中的两个系数 (可能相差符号). 进一步, 注意到 $A,B$ 都是正交阵 (也是实正规阵), 故由实正规阵的正交相似标准型理论 (复旦高代教材的定理 9.7.3) 可知, $A,B$ 正交相似 $Longleftrightarrow$ $A,B$ 有相同的特征值 $Longleftrightarrow$ $A,B$ 相似. 有了这些分析, 不难发现题目的条件应该不足以证明 $A,B$ 有相同的特征值. 因此, 我们可以尝试证明 $A,B$ 不相似, 而处理这类问题的常用技巧是验证 $mathrm{tr}(A) eqmathrm{tr}(B)$ 或 $|A| eq |B|$. 究竟选择哪一个入手进行证明，这可能会决定我们能走多远.
同时处理两个矩阵始终是一个困难的问题. 如果 $A,B$ 乘法可交换, 则 $A,B$ 具有很多的同时性质, 比如同时上三角化、同时正交标准化和同时酉对角化等 (参考复旦高代白皮书的相关章节或者习题课教学视频的第 6 讲). 很遗憾, 题目的条件并没有 $A,B$ 乘法可交换. 若只把 $A,B$ 中的某一个变成正交相似标准型或酉相似标准型, 则发现起不到很好的化简效果. 这些思考提醒我们: 应该充分利用正交阵的性质进行化简才行. $n$ 阶正交阵全体构成一个群 (这是正交阵最本质的性质之一), 即正交阵的乘积、正交阵的逆阵和单位阵 $I_n$ 都是正交阵. 利用这一性质, 可以把两个正交阵 $A,B$ 变成一个正交阵 $A^{-1}B$, 起到充分的化简作用 (这一技巧在高代白皮书中出现过多次), 然后再利用正交阵特征值的分析就能得到 $|A^{-1}B|=-1$, 从而 $|A| eq|B|$.
第三大题的证明 由 $A,B$ 为正交阵可知 $A^{-1}B$ 也是正交阵. 由 $A$ 的非异性可知, 线性方程组 $Ax=Bx$ 与 $A^{-1}Bx=x$ 同解, 从而线性方程组 $A^{-1}Bx=x$ 的解空间维数为 3. 换言之, 正交阵 $A^{-1}B$ 关于特征值 1 的几何重数等于 3. 由于正交阵也是酉阵, 故可复对角化, 从而特征值的几何重数等于代数重数, 于是 $A^{-1}B$ 关于特征值 1 的代数重数也等于 3. 由正交阵的基本性质可知, 其特征值由实特征值 $pm 1$ 和模长为 1 的共轭虚特征值组成. 由于 $A^{-1}B$ 的阶数为偶数, 共轭虚特征值成对出现, 又特征值 1 为奇数重, 故特征值 $-1$ 也为奇数重, 从而 $|A^{-1}B|=-1$, 即有 $|A|=-|B|$, 因此 $A,B$ 必不相似. $Box$
以上关于正交阵特征值的讨论非常有趣, 类似的讨论可以证明以下两个推广. 第一个是 19 级高代 II 每周一题第 18 题的推广, 由复旦数学学院 19 级邝麒同学给出.
推广 1 设 $P,Q$ 均为 $n$ 阶正交阵, 满足 $|P|=-1$ 且 $1$ 不是 $Q$ 的特征值. 证明: $1$ 是 $PQ$ 的特征值.
证明 设 $A$ 为正交阵, 则由正交阵的基本性质可设 $A$ 的全体特征值为 $1,cdots,1$, $-1,cdots,-1$, $cos heta_ipmmathrm{i}sin heta_i\,(1leq ileq r)$, 其中 $sin heta_i eq 0$. 若 $1$ 不是 $A$ 的特征值, 则特征值 $-1$ 有 $n-2r$ 个, 从而 $|A|=(-1)^{n-2r}=(-1)^n$. 回到本题, 由条件可知 $|P|=-1$, $|Q|=(-1)^n$, 从而 $|PQ|=(-1)^{n+1} eq (-1)^n$. 注意到 $PQ$ 仍为正交阵, 从而 $1$ 必为 $PQ$ 的特征值. $Box$
第二个是上述第三大题的推广, 以下是更加一般的形式.
推广 2 (高代白皮书的例 9.103) 设 $A,B$ 均为 $n$ 阶正交阵, 证明: $|A|+|B|=0$ 当且仅当 $n-r(A+B)$ 为奇数.
证明 白皮书上的证明用了正交阵的正交相似标准型理论, 这里我们仅用正交阵的基本性质以及可复对角化来证明. 将两个正交阵 $A,B$ 变成一个正交阵 $A^{-1}B$, 从而只要证明: 若 $A$ 为 $n$ 阶正交阵, 则 $|A|=-1$ 当且仅当 $n-r(I_n+A)$ 为奇数. 由正交阵的基本性质可知, $A$ 的特征值由实特征值 $pm 1$ 和模长为 1 的共轭虚特征值组成, 于是 $|A|=-1$ 当且仅当特征值 $-1$ 的代数重数为奇数. 由于正交阵也是酉阵, 故可复对角化, 从而特征值的几何重数等于代数重数, 于是特征值 $-1$ 的代数重数为奇数当且仅当特征值 $-1$ 的几何重数 $n-r(I_n+A)$ 为奇数, 故结论得证. $Box$
注 1 由推广 2 可知, 若阶数 $n$ 为偶数, 则线性方程组 $Ax=Bx\,(xinmathbb{R}^n)$ 的解空间维数为奇数 $Longleftrightarrow$ $n-r(A-B)$ 为奇数 $Longleftrightarrow$ $|A|+|B|=0$ $Longleftrightarrow$ $|A|=-|B|$, 从而 $A,B$ 必不相似, 这就是第三大题的推广.
第四大题 称非常值一元 $n$ 次多项式 (合并同类项后) 的 $n-1$ 次项 (可能为 0) 为第二项. 求所有 2020 次复系数首一多项式 $f(x)$, 满足对 $f(x)$ 的每个复根 $x_k$, 都存在非常值复系数首一多项式 $g_k(x)$ 和 $h_k(x)$, 使得 $f(x)=(x-x_k)g_k(x)h_k(x)$, 且 $g_k(x)$ 和 $h_k(x)$ 的第二项系数相等.
思路分析 从前十一届全国竞赛的试题来看, 多项式的内容绝不是考察的重点 (事实上, 多项式也不是高等代数教学中的重点). 题中给出的奇怪条件“首一多项式 $g_k(x)$ 和 $h_k(x)$ 的第二项系数相等”提醒我们: 本题只是借助多项式的外衣, 实际上希望考生通过 Vieta 定理和高等代数中的重要方法来求出多项式 $f(x)$ 所有的复根, 而这个重要方法就是线性方程组的求解理论. 如果考生能想通这一点, 解题过程将变得豁然开朗.
第四大题的解答 设 $f(x)$ 的所有复根为 $x_k\,(1leq kleq 2020)$, 则由 $f(x)=(x-x_k)g_k(x)h_k(x)$ 可知, $g_k(x)$ 和 $h_k(x)$ 所有复根合并在一起恰好为 ${x_imid 1leq i eq kleq 2020}$. 由 Vieta 定理可知, $g_k(x)$ 的第二项系数等于 $g_k(x)$ 所有复根之和乘以 $-1$; $h_k(x)$ 的第二项系数等于 $h_k(x)$ 所有复根之和乘以 $-1$; 又 $g_k(x)$ 和 $h_k(x)$ 的第二项系数相等, 从而得到方程式 $sumlimits_{i=1}^{2020}a_{ki}x_i=0$, 其中 $a_{kk}=0$, $a_{ki}=1$ 或 $-1\,(forall\,i eq k)$. 令 $A=(a_{ki})$, 则 $A$ 为 2020 阶方阵, 其主对角元素全为 0, 其余元素为 $1$ 或 $-1$. 令 $x=(x_1,x_2,cdots,x_{2020})'$, 则可得线性方程组 $$(*)quad Ax=0,$$ 只要求出线性方程组 $(*)$ 的解, 就能得到多项式 $f(x)$ 所有的复根, 从而完全确定 $f(x)$. 根据线性方程组的求解理论, 首先需要计算系数矩阵 $A$ 的秩, 为此我们来证明如下的命题.
命题 1 设 $A=(a_{ij})$ 为 $2n$ 阶方阵, 其主对角元素全为 0, 其余元素为 $1$ 或 $-1$, 则 $A$ 为非异阵.
证明 这是教学论文 [4] 中的命题 1, 在那里给出了三种证法: 证法一是利用行列式的组合定义进行讨论; 证法二是利用加 2 变换进行讨论; 证法三是利用模 2 同余进行讨论. 限于文章篇幅, 这里不再赘述证明细节, 请读者自行参考教学论文 [4]. 值得一提的是, 第四大题的官方解答处理这一命题的两种方法正好是加 2 变换法和模 2 同余法. $Box$
由命题 1 可知, 第四大题中的 2020 阶方阵 $A$ 是非异阵, 从而线性方程组 $(*)$ 只有零解, 即 $x_1=x_2=cdots=x_{2020}=0$, 于是 $f(x)=x^{2020}$. $Box$
推广 3 求所有 $n$ 次复系数首一多项式 $f(x)$, 满足对 $f(x)$ 的每个复根 $x_k$, 都存在非常值复系数首一多项式 $g_k(x)$ 和 $h_k(x)$, 使得
(1) $f(x)=(x-x_k)g_k(x)h_k(x)$;
(2) $g_k(x)$ 和 $h_k(x)$ 的第二项系数相等;
(3) 当 $n$ 为奇数时, $g_k(x)$ 和 $h_k(x)$ 的次数相等.
略解 当 $n$ 为偶数时, 由命题 1 可知线性方程组 $(*)$ 只有零解, 于是 $f(x)=x^n$. 当 $n$ 为奇数时, $g_k(x)$ 和 $h_k(x)$ 的次数相等保证了 $(1,1,cdots,1)'$ 是线性方程组 $(*)$ 的基础解系 (这一结论恰好是教学论文 [4] 讨论的主题), 于是 $x_1=x_2=cdots=x_n$, 从而 $f(x)=(x-a)^n$, 其中 $a$ 为任意的复数. $Box$
总的来说, 第十二届全国大学生数学竞赛初赛数学类 A 卷的两道高代试题并不算难, 但比较好地考察了学生对线性方程组的求解理论 (包括行列式理论等) 以及正交阵的相关性质 (包括特征值和可复对角化等) 的掌握和运用, 应该算是比较适合的竞赛命题.
本文给出如此详尽的解题思路分析, 也是想提醒读者: 高等代数中重要思想、方法和技巧的熟练运用, 不仅需要通过做一定数量的习题来实现 (也就是刷题), 更加需要在做每一道习题之前, 认真思考解题思路, 反复衡量各种方法的可行性, 唯有这样才能真正地提高解题能力和创新能力.
参考文献
[1] 高代教材: 姚慕生, 吴泉水, 谢启鸿 编著, 高等代数学 (第三版), 复旦大学出版社, 2014.
[2] 高代白皮书: 姚慕生, 谢启鸿 编著, 学习方法指导书: 高等代数 (第三版), 复旦大学出版社, 2015.
[3] 谢启鸿, 复旦大学高等代数习题课教学视频, https://www.bilibili.com/video/av90771191/
[4] 谢启鸿, 邵美悦, 从一个初等问题看高等代数中的若干技巧, 高等数学研究, 2013, 16(4), 53--55.