七、(10分) 设 $V$ 为 $n$ 维线性空间, $varphi$ 是 $V$ 上的线性变换, $V=Uoplus W$, 其中 $U,W$ 都是 $varphi$-不变子空间. 证明:
(1) 对任意的正整数 $k$, $varphi^{-k}(U):={vin Vmid varphi^k(v)in U}$ 和 $varphi^k(W):={varphi^k(w)mid win W}$ 都是 $varphi$-不变子空间;
(2) 存在正整数 $m$, 使得对任意的 $kgeq m$, $varphi^{-k}(U)=varphi^{-m}(U)$, $varphi^k(W)=varphi^m(W)$, 并且 $V=varphi^{-m}(U)oplusvarphi^m(W)$.
证明 (1) 容易验证 $varphi^{-k}(U)$ 和 $varphi^k(W)$ 都是 $V$ 的子空间. 任取 $vinvarphi^{-k}(U)$, 即 $varphi^k(v)in U$, 由于 $U$ 是 $varphi$-不变子空间, 故 $varphiig(varphi^k(v)ig)in U$, 从而 $$varphi^kig(varphi(v)ig)=varphi^{k+1}(v)=varphiig(varphi^k(v)ig)in U,$$ 即 $varphi(v)invarphi^{-k}(U)$, 从而 $varphi^{-k}(U)$ 是 $varphi$-不变子空间. 注意到上式也告诉我们: $varphi^{k+1}(v)in U$, 即 $vinvarphi^{-(k+1)}(U)$, 从而有子空间的包含关系: $varphi^{-k}(U)subseteqvarphi^{-(k+1)}(U)$. 任取 $v=varphi^k(w)invarphi^k(W)$, 其中 $win W$, 由于 $W$ 是 $varphi$-不变子空间, 故 $varphi(w)in W$, 从而 $$varphi(v)=varphi(varphi^k(w))=varphi^{k+1}(w)=varphi^k(varphi(w))invarphi^k(W),$$ 即 $varphi^k(W)$ 是 $varphi$-不变子空间. 注意到上式也告诉我们: $varphi^{k+1}(w)invarphi^k(W)$, 从而有子空间的包含关系: $varphi^{k+1}(W)subseteqvarphi^k(W)$.
(2.1) 由上面的讨论可知, 存在 $varphi$-不变子空间的如下包含关系: $$Usubseteqvarphi^{-1}(U)subseteqvarphi^{-2}(U)subseteqcdotssubseteq V,quad Wsupseteqvarphi(W)supseteqvarphi^2(W)supseteqcdotssupseteq 0,$$ 从而有维数的不等式: $$dim Uleqdimvarphi^{-1}(U)leqdimvarphi^{-2}(U)leqcdotsleqdim V,\ dim Wgeqdimvarphi(W)geqdimvarphi^2(W)geqcdotsgeq 0.$$ 注意到递增和递减的整数 (子空间维数) 数列夹在两个有限区间里, 故它们不能有无限次严格递增和无限次严格递减的情况出现, 因此存在正整数 $m$, 使得对任意的 $kgeq m$, $dimvarphi^{-k}(U)=dimvarphi^{-m}(U)$, $dimvarphi^k(W)=dimvarphi^m(W)$, 即从指标 $m$ 开始, 两类子空间的维数都保持不变了, 再由子空间的包含关系即得: 对任意的 $kgeq m$, $varphi^{-k}(U)=varphi^{-m}(U)$, $varphi^k(W)=varphi^m(W)$.
证法一 我们按照直和的定义, 分两步来证明 $V=varphi^{-m}(U)oplusvarphi^m(W)$.
(2.2) 先证 $varphi^{-m}(U)capvarphi^m(W)=0$. 任取 $vinvarphi^{-m}(U)capvarphi^m(W)$, 即存在 $win W$, 使得 $v=varphi^m(w)$ 且 $varphi^m(v)=varphi^{2m}(w)in U$, 于是 $winvarphi^{-2m}(U)=varphi^{-m}(U)$, 故有 $v=varphi^m(w)in Ucap W=0$, 从而 $v=0$. 还有另一种证明方法. 将线性变换 $varphi^m:V o V$ 限制在 $varphi^m(W)$ 上, 得到线性映射 $varphi^m_1:varphi^m(W) ovarphi^{2m}(W)$, 这是一个满射. 又由 (2.1) 可知 $varphi^m(W)=varphi^{2m}(W)$, 从而 $varphi^m_1$ 是一个线性同构. 注意到在上面的讨论中, $varphi^m(v)=varphi^{2m}(w)in Ucap W=0$, 从而 $varphi^m_1(varphi^m(w))=varphi^{2m}(w)=0$, 于是 $v=varphi^m(w)=0$.
(2.3) 再证 $V=varphi^{-m}(U)+varphi^m(W)$. 任取 $vin V$, 设 $v=u+w$, 其中 $uin U$, $win W$, 则 $varphi^m(v-u)=varphi^m(w)invarphi^m(W)=varphi^{2m}(W)$, 即存在 $w_1in W$, 使得 $varphi^m(v-u)=varphi^{2m}(w_1)$, 即 $varphi^m(v-u-varphi^m(w_1))=0$. 令 $u_1=v-u-varphi^m(w_1)$, 则 $u_1inmathrm{Ker}varphi^msubseteqvarphi^{-m}(U)$, 从而 $v=(u+u_1)+varphi^m(w_1)invarphi^{-m}(U)+varphi^m(W)$.
证法二 我们可以用维数公式去替代上面的 (2.2) 或 (2.3) 来证明直和, 但这个维数公式并非显然, 需要严格的证明.
(2.4) 证明 $dim V=dimvarphi^{-m}(U)+dimvarphi^m(W)$. 将线性变换 $varphi^m: V o V$ 限制在 $varphi^{-m}(U)$ 上, 得到线性映射 $varphi^m_2:varphi^{-m}(U) o U$. 注意到 $mathrm{Ker}varphi^m_2=mathrm{Ker}varphi^m$, $mathrm{Im}varphi^m_2=Ucapmathrm{Im}varphi^m$, 从而由线性映射的维数公式可得 $$dimvarphi^{-m}(U)=dimmathrm{Ker}varphi^m+dim(Ucapmathrm{Im}varphi^m).cdotscdots(*)$$ 由于 $varphi^m(U)subseteq U$, $varphi^m(W)subseteq W$, 故 $varphi^m(U)capvarphi^m(W)subseteq Ucap W=0$, 即 $varphi^m(U)capvarphi^m(W)=0$, 从而 $$mathrm{Im}varphi^m=varphi^m(V)=varphi^m(U)+varphi^m(W)=varphi^m(U)oplusvarphi^m(W).cdotscdots(dagger)$$ 由于 $$Ucapmathrm{Im}varphi^m=Ucap(varphi^m(U)+varphi^m(W))=varphi^m(U)+Ucapvarphi^m(W)=varphi^m(U),$$ 故由 $(dagger)$ 式可得 $$dim(Ucapmathrm{Im}varphi^m)=dimvarphi^m(U)=dimmathrm{Im}varphi^m-dimvarphi^m(W).cdotscdots(sharp)$$ 由 $(*)$ 和 $(sharp)$ 两式, 再利用 $varphi^m$ 的维数公式即可得证.
证法三 我们也可以直接证明 $V=varphi^{-m}(U)oplusvarphi^m(W)$. 将线性变换 $varphi:V o V$ 限制在不变子空间 $W$ 上, 得到线性变换 $varphi_1:W o W$. 由高代白皮书例 4.33 的结论可知: 存在正整数 $m$, 使得对任意的 $kgeq m$, $mathrm{Ker}varphi^k_1=mathrm{Ker}varphi^m_1$, $mathrm{Im}varphi^k_1=mathrm{Im}varphi^m_1$, 且 $W=mathrm{Ker}varphi^m_1oplusmathrm{Im}varphi^m_1$. 注意到 $mathrm{Im}varphi^m_1=varphi^m(W)$, 又由定义容易验证 $U+mathrm{Ker}varphi^m_1subseteqvarphi^{-m}(U)$, 故 $$V=Uoplus W=Uoplusmathrm{Ker}varphi^m_1oplusvarphi^m(W)subseteqvarphi^{-m}(U)+varphi^m(W)subseteq V.$$ 因此上述包含关系只能取等号, 即有 $U+mathrm{Ker}varphi^m_1=varphi^{-m}(U)$ 以及 $V=varphi^{-m}(U)oplusvarphi^m(W)$. $Box$
注 (1) 当 $U=0$, $W=V$ 时, 本题就是高代白皮书的例 4.33. 因此, 本题及其证法一和证法二就是高代白皮书的例 4.33 及其证明的推广, 大家可以仔细比较两者之间的类似之处. 第 2 小问的 $m$ 可以取到更加精细的值 (像高代白皮书的例 4.32 那样利用抽屉原理来讨论), 但就本题的结论而言, 并不需要这么精细的讨论.
(2) 采用证法一并且得分在7分以上的同学共20人, 分别为: 厉茗、张冀、蒋安、陈河、夏伟淳、钱东箭、盛志轩、佟佳新、俞姚琳、刘子为、黄尹灿、叶晨、李玥泽、谭依凡、张开润、尤淇正、张若冲、曹文景、刘思科、王雨萌.
(3) 采用证法二并且得分在7分以上的同学共6人, 分别为: 卞诗瑞、陈建翔、苏传恒、吴强、李子灏、朱依宁.
(4) 若取 $U,W$ 的一组基并拼成 $V$ 的一组基, 则 $varphi$ 在这组基下的表示矩阵为分块对角阵 $mathrm{diag}{A,B}$. 因此, 整个证法三有完全对应的代数证法, 或者也可以用上述基向量直接证明直和分解. 采用证法三 (包括代数证法) 并且得分在7分以上的同学共5人, 分别为: 金李洋 (10分)、朱轶磊 (10分)、陈志恒、邹思远、孙进.