最优比率树（转）

转自：http://blog.163.com/silver9886@126/blog/static/35971862201493144512351/  （silver9886@126的博客）

题意：

给定n个二元组(a,b)，删除k个二元组，使得剩下的a元素之和与b元素之和的比率最大（比率最后乘100输出）

题解：

最裸的01分数规划，以此题为例讲述如何构造。

同意的题目：

n a certain course, you take n tests. If you get a_i out of b_i questions correct on test i, your cumulative average is defined to be

.

Given your test scores and a positive integer k, determine how high you can make your cumulative average if you are allowed to drop any k of your test scores.

那我们来看下解法：

概念

有带权图G, 对于图中每条边e[i], 都有benifit[i](收入)和cost[i](花费), 我们要求的是一棵生成树T, 它使得 ∑(benifit[i]) / ∑(cost[i]), i∈T最大(或最小).

这显然是一个具有现实意义的问题.

解法之一 0-1分数规划

设x[i]等于1或0, 表示边e[i]是否属于生成树.

则我们所求的比率 r = ∑(benifit[i] * x[i]) / ∑(cost[i] * x[i]), 0≤i<m.

为了使 r 最大, 设计一个子问题---> 让 z = ∑(benifit[i] * x[i]) - l * ∑(cost[i] * x[i]) = ∑(d[i] * x[i])最大 (d[i] = benifit[i] - l * cost[i]) , 并记为z(l). 我们可以兴高采烈地把z(l)看做以d为边权的最大生成树的总权值.

然后明确两个性质:

1.  z单调递减

证明: 因为cost为正数, 所以z随l的减小而增大.

2.  z( max(r) ) = 0

证明: 若z( max(r) ) < 0, ∑(benifit[i] * x[i]) - max(r) * ∑(cost[i] * x[i]) < 0, 可化为 max(r) < max(r). 矛盾;[这里解释一下，假设我们将benifit[i]和x[i],cost[i]都取r=max(r)时候的值，我们就可以得到max(r)>max(r)的荒谬结论  ]

若z( max(r) ) >= 0, 根据性质1, 当z = 0 时r最大. {解释一下，可以推导得到max(r)<=∑(benifit[i] * x[i]) / ∑(cost[i] * x[i]),那么当然取z( max(r) ) = 0时，max(r)的值为最大}

到了这个地步, 七窍全已打通, 喜欢二分的上二分, 喜欢Dinkelbach的就Dinkelbach.

具体代码后续研究

今天具体研究了下二分法的代码。试图解释最优比例生成树。

首先我们明白这样一个道理：

1.z = ∑(benifit[i] * x[i]) - l * ∑(cost[i] * x[i]) = ∑(d[i] * x[i]),如果l是最大值的话，那么任意的benifit[i]和cost[i] 的组合都是使得z<=0的，如果I不是最大值，一定有这样的benifit[i]和cost[i]使得z>0.

好了我们知道l>0,则无论 ∑(benifit[i] * x[i])和∑(cost[i] * x[i])取何值(注意，根据题意这两个数必定是正数),z的函数一定是通过二，四象限的直线方程。则我们作图如下：

取z(0)= ∑(benifit[i](求n-k个)，则必定z(0)>0,0就是图中的L0点。取z(max(benifit[i]/cost[i])),则必定有z(max(benifit[i]/cost[i]))(求n-k个)<0,max(benifit[i]/cost[i])就是图中的L1点。【注意源码中对z值首先进行快排排序的目的就是如果最大的n-k个z值和都<0,那么l的这个取值一定对任意的n-k个求和的z值都是<0的，同理，最大值>0一定是在所求点的左方的】而我们的所求点就是上图中的所求点。因此，通过二分法就是求得所求点的有效方法。