• Android Matrix

    Matrix的数学原理

    平移变换

    旋转变换

    缩放变换

    错切变换

    对称变换

    代码验证

    Matrix的数学原理

    在Android中，如果你用Matrix进行过图像处理，那么一定知道Matrix这个类。Android中的Matrix是一个3 x 3的矩阵，其内容如下：

    Matrix的对图像的处理可分为四类基本变换：

    Translate           平移变换

    Rotate                旋转变换

    Scale                  缩放变换

    Skew                  错切变换

    从字面上理解，矩阵中的MSCALE用于处理缩放变换，MSKEW用于处理错切变换，MTRANS用于处理平移变换，MPERSP用于处理透视变换。实际中当然不能完全按照字面上的说法去理解Matrix。同时，在Android的文档中，未见到用Matrix进行透视变换的相关说明，所以本文也不讨论这方面的问题。

    针对每种变换，Android提供了pre、set和post三种操作方式。其中

    set用于设置Matrix中的值。

    pre是先乘，因为矩阵的乘法不满足交换律，因此先乘、后乘必须要严格区分。先乘相当于矩阵运算中的右乘。

    post是后乘，因为矩阵的乘法不满足交换律，因此先乘、后乘必须要严格区分。后乘相当于矩阵运算中的左乘。

    除平移变换(Translate)外，旋转变换(Rotate)、缩放变换(Scale)和错切变换(Skew)都可以围绕一个中心点来进行，如果不指定，在默认情况下是围绕(0, 0)来进行相应的变换的。

    下面我们来看看四种变换的具体情形。由于所有的图形都是有点组成，因此我们只需要考察一个点相关变换即可。

    一、 平移变换

    假定有一个点的坐标是 ，将其移动到 ，再假定在x轴和y轴方向移动的大小分别为：

    如下图所示：

    难知道：

    如果用矩阵来表示的话，就可以写成：

     

    二、 旋转变换

    2.1    围绕坐标原点旋转：

    假定有一个点 ，相对坐标原点顺时针旋转后的情形，同时假定P点离坐标原点的距离为r，如下图：

    那么，

    如果用矩阵，就可以表示为：

    2.2    围绕某个点旋转

    如果是围绕某个点顺时针旋转，那么可以用矩阵表示为：

    可以化为：

    很显然，

    1.   

      是将坐标原点移动到点后， 的新坐标。

    2.     

    是将上一步变换后的，围绕新的坐标原点顺时针旋转 。

    3.     

    经过上一步旋转变换后，再将坐标原点移回到原来的坐标原点。

    所以，围绕某一点进行旋转变换，可以分成3个步骤，即首先将坐标原点移至该点，然后围绕新的坐标原点进行旋转变换，再然后将坐标原点移回到原先的坐标原点。

    三、 缩放变换

    理论上而言，一个点是不存在什么缩放变换的，但考虑到所有图像都是由点组成，因此，如果图像在x轴和y轴方向分别放大k1和k2倍的话，那么图像中的所有点的x坐标和y坐标均会分别放大k1和k2倍，即

    用矩阵表示就是：

    缩放变换比较好理解，就不多说了。

    四、 错切变换

    错切变换(skew)在数学上又称为Shear mapping(可译为“剪切变换”)或者Transvection(缩并)，它是一种比较特殊的线性变换。错切变换的效果就是让所有点的x坐标(或者y坐标)保持不变，而对应的y坐标(或者x坐标)则按比例发生平移，且平移的大小和该点到x轴(或y轴)的垂直距离成正比。错切变换，属于等面积变换，即一个形状在错切变换的前后，其面积是相等的。

    比如下图，各点的y坐标保持不变，但其x坐标则按比例发生了平移。这种情况将水平错切。

    下图各点的x坐标保持不变，但其y坐标则按比例发生了平移。这种情况叫垂直错切。

     

    假定一个点经过错切变换后得到，对于水平错切而言，应该有如下关系：

    用矩阵表示就是：

    扩展到3 x 3的矩阵就是下面这样的形式：

     

    同理，对于垂直错切，可以有：

    在数学上严格的错切变换就是上面这样的。在Android中除了有上面说到的情况外，还可以同时进行水平、垂直错切，那么形式上就是：

    五、 对称变换

    除了上面讲到的4中基本变换外，事实上，我们还可以利用Matrix，进行对称变换。所谓对称变换，就是经过变化后的图像和原图像是关于某个对称轴是对称的。比如，某点 经过对称变换后得到，

    如果对称轴是x轴，难么，

    用矩阵表示就是：

    如果对称轴是y轴，那么，

    用矩阵表示就是：

    如果对称轴是y = x，如图：

    那么，

    很容易可以解得：

    用矩阵表示就是：

    同样的道理，如果对称轴是y = -x，那么用矩阵表示就是：

     

    特殊地，如果对称轴是y = kx，如下图：

    那么，

    很容易可解得：

    用矩阵表示就是：

    当k = 0时，即y = 0，也就是对称轴为x轴的情况；当k趋于无穷大时，即x = 0，也就是对称轴为y轴的情况；当k =1时，即y = x，也就是对称轴为y = x的情况；当k = -1时，即y = -x，也就是对称轴为y = -x的情况。不难验证，这和我们前面说到的4中具体情况是相吻合的。

    如果对称轴是y = kx + b这样的情况，只需要在上面的基础上增加两次平移变换即可，即先将坐标原点移动到(0, b)，然后做上面的关于y = kx的对称变换，再然后将坐标原点移回到原来的坐标原点即可。用矩阵表示大致是这样的：

    需要特别注意：在实际编程中，我们知道屏幕的y坐标的正向和数学中y坐标的正向刚好是相反的，所以在数学上y = x和屏幕上的y = -x才是真正的同一个东西，反之亦然。也就是说，如果要使图片在屏幕上看起来像按照数学意义上y = x对称，那么需使用这种转换：

    要使图片在屏幕上看起来像按照数学意义上y = -x对称，那么需使用这种转换：
     

    关于对称轴为y = kx 或y = kx + b的情况，同样需要考虑这方面的问题。

    第二部分 代码验证

    在第一部分中讲到的各种图像变换的验证代码如下，一共列出了10种情况。如果要验证其中的某一种情况，只需将相应的代码反注释即可。试验中用到的图片：

    其尺寸为162 x 251。

    每种变换的结果，请见代码之后的说明。

    [cpp] view plaincopyprint?在CODE上查看代码片派生到我的代码片
     
    1. package com.pat.testtransformmatrix;  
    2.   
    3. import android.app.Activity;  
    4. import android.content.Context;  
    5. import android.graphics.Bitmap;  
    6. import android.graphics.BitmapFactory;  
    7. import android.graphics.Canvas;  
    8. import android.graphics.Matrix;  
    9. import android.os.Bundle;  
    10. import android.util.Log;  
    11. import android.view.MotionEvent;  
    12. import android.view.View;  
    13. import android.view.Window;  
    14. import android.view.WindowManager;  
    15. import android.view.View.OnTouchListener;  
    16. import android.widget.ImageView;  
    17.   
    18. public class TestTransformMatrixActivity extends Activity  
    19. implements  
    20. OnTouchListener  
    21. {  
    22.     private TransformMatrixView view;  
    23.     @Override  
    24.     public void onCreate(Bundle savedInstanceState)  
    25.     {  
    26.         super.onCreate(savedInstanceState);  
    27.         requestWindowFeature(Window.FEATURE_NO_TITLE);  
    28.         this.getWindow().setFlags(WindowManager.LayoutParams.FLAG_FULLSCREEN, WindowManager.LayoutParams.FLAG_FULLSCREEN);  
    29.   
    30.         view = new TransformMatrixView(this);  
    31.         view.setScaleType(ImageView.ScaleType.MATRIX);  
    32.         view.setOnTouchListener(this);  
    33.           
    34.         setContentView(view);  
    35.     }  
    36.       
    37.     class TransformMatrixView extends ImageView  
    38.     {  
    39.         private Bitmap bitmap;  
    40.         private Matrix matrix;  
    41.         public TransformMatrixView(Context context)  
    42.         {  
    43.             super(context);  
    44.             bitmap = BitmapFactory.decodeResource(getResources(), R.drawable.sophie);  
    45.             matrix = new Matrix();  
    46.         }  
    47.   
    48.         @Override  
    49.         protected void onDraw(Canvas canvas)  
    50.         {  
    51.             // 画出原图像  
    52.             canvas.drawBitmap(bitmap, 0, 0, null);  
    53.             // 画出变换后的图像  
    54.             canvas.drawBitmap(bitmap, matrix, null);  
    55.             super.onDraw(canvas);  
    56.         }  
    57.   
    58.         @Override  
    59.         public void setImageMatrix(Matrix matrix)  
    60.         {  
    61.             this.matrix.set(matrix);  
    62.             super.setImageMatrix(matrix);  
    63.         }  
    64.           
    65.         public Bitmap getImageBitmap()  
    66.         {  
    67.             return bitmap;  
    68.         }  
    69.     }  
    70.   
    71.     public boolean onTouch(View v, MotionEvent e)  
    72.     {  
    73.         if(e.getAction() == MotionEvent.ACTION_UP)  
    74.         {  
    75.             Matrix matrix = new Matrix();  
    76.             // 输出图像的宽度和高度(162 x 251)  
    77.             Log.e("TestTransformMatrixActivity", "image size: width x height = " +  view.getImageBitmap().getWidth() + " x " + view.getImageBitmap().getHeight());  
    78.             // 1. 平移  
    79.             matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth(), view.getImageBitmap().getHeight());  
    80.             // 在x方向平移view.getImageBitmap().getWidth()，在y轴方向view.getImageBitmap().getHeight()  
    81.             view.setImageMatrix(matrix);  
    82.               
    83.             // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
    84.             float[] matrixValues = new float[9];  
    85.             matrix.getValues(matrixValues);  
    86.             for(int i = 0; i < 3; ++i)  
    87.             {  
    88.                 String temp = new String();  
    89.                 for(int j = 0; j < 3; ++j)  
    90.                 {  
    91.                     temp += matrixValues[3 * i + j ] + " ";  
    92.                 }  
    93.                 Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
    94.             }  
    95.               
    96.   
    97. //          // 2. 旋转(围绕图像的中心点)  
    98. //          matrix.setRotate(45f, view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);  
    99. //            
    100. //          // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠  
    101. //          matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth() * 1.5f, 0f);  
    102. //          view.setImageMatrix(matrix);  
    103. //  
    104. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
    105. //          float[] matrixValues = new float[9];  
    106. //          matrix.getValues(matrixValues);  
    107. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
    108. //          {  
    109. //              String temp = new String();  
    110. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
    111. //              {  
    112. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + " ";  
    113. //              }  
    114. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
    115. //          }  
    116.               
    117.               
    118. //          // 3. 旋转(围绕坐标原点) + 平移(效果同2)  
    119. //          matrix.setRotate(45f);  
    120. //          matrix.preTranslate(-1f * view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, -1f * view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);  
    121. //          matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, (float)view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);  
    122. //            
    123. //          // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠  
    124. //          matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth() * 1.5f, 0f);  
    125. //          view.setImageMatrix(matrix);  
    126. //            
    127. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
    128. //          float[] matrixValues = new float[9];  
    129. //          matrix.getValues(matrixValues);  
    130. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
    131. //          {  
    132. //              String temp = new String();  
    133. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
    134. //              {  
    135. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + " ";  
    136. //              }  
    137. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
    138. //          }             
    139.               
    140. //          // 4. 缩放  
    141. //          matrix.setScale(2f, 2f);  
    142. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
    143. //          float[] matrixValues = new float[9];  
    144. //          matrix.getValues(matrixValues);  
    145. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
    146. //          {  
    147. //              String temp = new String();  
    148. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
    149. //              {  
    150. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + " ";  
    151. //              }  
    152. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
    153. //          }  
    154. //            
    155. //          // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠  
    156. //          matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth(), view.getImageBitmap().getHeight());  
    157. //          view.setImageMatrix(matrix);  
    158. //            
    159. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
    160. //          matrixValues = new float[9];  
    161. //          matrix.getValues(matrixValues);  
    162. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
    163. //          {  
    164. //              String temp = new String();  
    165. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
    166. //              {  
    167. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + " ";  
    168. //              }  
    169. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
    170. //          }  
    171.   
    172.               
    173. //          // 5. 错切 - 水平  
    174. //          matrix.setSkew(0.5f, 0f);  
    175. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
    176. //          float[] matrixValues = new float[9];  
    177. //          matrix.getValues(matrixValues);  
    178. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
    179. //          {  
    180. //              String temp = new String();  
    181. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
    182. //              {  
    183. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + " ";  
    184. //              }  
    185. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
    186. //          }  
    187. //            
    188. //          // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠           
    189. //          matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth(), 0f);  
    190. //          view.setImageMatrix(matrix);  
    191. //            
    192. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
    193. //          matrixValues = new float[9];  
    194. //          matrix.getValues(matrixValues);  
    195. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
    196. //          {  
    197. //              String temp = new String();  
    198. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
    199. //              {  
    200. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + " ";  
    201. //              }  
    202. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
    203. //          }  
    204.               
    205. //          // 6. 错切 - 垂直  
    206. //          matrix.setSkew(0f, 0.5f);  
    207. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
    208. //          float[] matrixValues = new float[9];  
    209. //          matrix.getValues(matrixValues);  
    210. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
    211. //          {  
    212. //              String temp = new String();  
    213. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
    214. //              {  
    215. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + " ";  
    216. //              }  
    217. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
    218. //          }  
    219. //            
    220. //          // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠               
    221. //          matrix.postTranslate(0f, view.getImageBitmap().getHeight());  
    222. //          view.setImageMatrix(matrix);  
    223. //            
    224. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
    225. //          matrixValues = new float[9];  
    226. //          matrix.getValues(matrixValues);  
    227. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
    228. //          {  
    229. //              String temp = new String();  
    230. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
    231. //              {  
    232. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + " ";  
    233. //              }  
    234. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
    235. //          }             
    236.               
    237. //          7. 错切 - 水平 + 垂直  
    238. //          matrix.setSkew(0.5f, 0.5f);  
    239. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
    240. //          float[] matrixValues = new float[9];  
    241. //          matrix.getValues(matrixValues);  
    242. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
    243. //          {  
    244. //              String temp = new String();  
    245. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
    246. //              {  
    247. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + " ";  
    248. //              }  
    249. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
    250. //          }  
    251. //            
    252. //          // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠               
    253. //          matrix.postTranslate(0f, view.getImageBitmap().getHeight());  
    254. //          view.setImageMatrix(matrix);  
    255. //            
    256. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
    257. //          matrixValues = new float[9];  
    258. //          matrix.getValues(matrixValues);  
    259. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
    260. //          {  
    261. //              String temp = new String();  
    262. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
    263. //              {  
    264. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + " ";  
    265. //              }  
    266. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
    267. //          }  
    268.               
    269. //          // 8. 对称 (水平对称)  
    270. //          float matrix_values[] = {1f, 0f, 0f, 0f, -1f, 0f, 0f, 0f, 1f};  
    271. //          matrix.setValues(matrix_values);  
    272. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
    273. //          float[] matrixValues = new float[9];  
    274. //          matrix.getValues(matrixValues);  
    275. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
    276. //          {  
    277. //              String temp = new String();  
    278. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
    279. //              {  
    280. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + " ";  
    281. //              }  
    282. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
    283. //          }  
    284. //            
    285. //          // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠   
    286. //          matrix.postTranslate(0f, view.getImageBitmap().getHeight() * 2f);  
    287. //          view.setImageMatrix(matrix);  
    288. //            
    289. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
    290. //          matrixValues = new float[9];  
    291. //          matrix.getValues(matrixValues);  
    292. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
    293. //          {  
    294. //              String temp = new String();  
    295. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
    296. //              {  
    297. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + " ";  
    298. //              }  
    299. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
    300. //          }             
    301.               
    302. //          // 9. 对称 - 垂直  
    303. //          float matrix_values[] = {-1f, 0f, 0f, 0f, 1f, 0f, 0f, 0f, 1f};  
    304. //          matrix.setValues(matrix_values);  
    305. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
    306. //          float[] matrixValues = new float[9];  
    307. //          matrix.getValues(matrixValues);  
    308. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
    309. //          {  
    310. //              String temp = new String();  
    311. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
    312. //              {  
    313. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + " ";  
    314. //              }  
    315. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
    316. //          }     
    317. //            
    318. //          // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠   
    319. //          matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth() * 2f, 0f);  
    320. //          view.setImageMatrix(matrix);  
    321. //            
    322. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
    323. //          matrixValues = new float[9];  
    324. //          matrix.getValues(matrixValues);  
    325. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
    326. //          {  
    327. //              String temp = new String();  
    328. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
    329. //              {  
    330. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + " ";  
    331. //              }  
    332. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
    333. //          }  
    334.   
    335.               
    336. //          // 10. 对称(对称轴为直线y = x)  
    337. //          float matrix_values[] = {0f, -1f, 0f, -1f, 0f, 0f, 0f, 0f, 1f};  
    338. //          matrix.setValues(matrix_values);  
    339. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
    340. //          float[] matrixValues = new float[9];  
    341. //          matrix.getValues(matrixValues);  
    342. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
    343. //          {  
    344. //              String temp = new String();  
    345. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
    346. //              {  
    347. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + " ";  
    348. //              }  
    349. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
    350. //          }  
    351. //            
    352. //          // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠               
    353. //          matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getHeight() + view.getImageBitmap().getWidth(),   
    354. //                  view.getImageBitmap().getHeight() + view.getImageBitmap().getWidth());  
    355. //          view.setImageMatrix(matrix);  
    356. //            
    357. //          // 下面的代码是为了查看matrix中的元素  
    358. //          matrixValues = new float[9];  
    359. //          matrix.getValues(matrixValues);  
    360. //          for(int i = 0; i < 3; ++i)  
    361. //          {  
    362. //              String temp = new String();  
    363. //              for(int j = 0; j < 3; ++j)  
    364. //              {  
    365. //                  temp += matrixValues[3 * i + j ] + " ";  
    366. //              }  
    367. //              Log.e("TestTransformMatrixActivity", temp);  
    368. //          }  
    369.               
    370.             view.invalidate();  
    371.         }  
    372.         return true;  
    373.     }  
    374. }  

    下面给出上述代码中，各种变换的具体结果及其对应的相关变换矩阵

    1.     平移

    输出的结果：

    请对照第一部分中的“一、平移变换”所讲的情形，考察上述矩阵的正确性。

    2.     旋转(围绕图像的中心点)

    输出的结果：

    它实际上是

    matrix.setRotate(45f,view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

    matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth()* 1.5f, 0f);

    这两条语句综合作用的结果。根据第一部分中“二、旋转变换”里面关于围绕某点旋转的公式，

    matrix.setRotate(45f,view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

    所产生的转换矩阵就是：

    而matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth()* 1.5f, 0f);的意思就是在上述矩阵的左边再乘以下面的矩阵：

    关于post是左乘这一点，我们在前面的理论部分曾经提及过，后面我们还会专门讨论这个问题。

    所以它实际上就是：

    出去计算上的精度误差，我们可以看到我们计算出来的结果，和程序直接输出的结果是一致的。

    3.     旋转(围绕坐标原点旋转，在加上两次平移，效果同2)

    根据第一部分中“二、旋转变换”里面关于围绕某点旋转的解释，不难知道：

    matrix.setRotate(45f,view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

    等价于

    matrix.setRotate(45f);

    matrix.preTranslate(-1f* view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, -1f *view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

    matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth()/ 2f, (float)view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

    其中matrix.setRotate(45f)对应的矩阵是：

    matrix.preTranslate(-1f* view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, -1f * view.getImageBitmap().getHeight()/ 2f)对应的矩阵是：

    由于是preTranslate，是先乘，也就是右乘，即它应该出现在matrix.setRotate(45f)所对应矩阵的右侧。

    matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth()/ 2f, (float)view.getImageBitmap().getHeight() / 2f)对应的矩阵是：

    这次由于是postTranslate，是后乘，也就是左乘，即它应该出现在matrix.setRotate(45f)所对应矩阵的左侧。

    所以综合起来，

    matrix.setRotate(45f);

    matrix.preTranslate(-1f* view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, -1f *view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

    matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth()/ 2f, (float)view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

    对应的矩阵就是：

    这和下面这个矩阵(围绕图像中心顺时针旋转45度)其实是一样的：

    因此，此处变换后的图像和2中变换后的图像时一样的。

    4.     缩放变换

    程序所输出的两个矩阵分别是：

    其中第二个矩阵，其实是下面两个矩阵相乘的结果：

     

    大家可以对照第一部分中的“三、缩放变换”和“一、平移变换”说法，自行验证结果。

    5.     错切变换(水平错切)

    代码所输出的两个矩阵分别是：

    其中，第二个矩阵其实是下面两个矩阵相乘的结果：

     

    大家可以对照第一部分中的“四、错切变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

    6.     错切变换(垂直错切)

    代码所输出的两个矩阵分别是：

    其中，第二个矩阵其实是下面两个矩阵相乘的结果：

    大家可以对照第一部分中的“四、错切变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

    7.     错切变换(水平+垂直错切)

    代码所输出的两个矩阵分别是：

    其中，后者是下面两个矩阵相乘的结果：

    大家可以对照第一部分中的“四、错切变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

    8.     对称变换(水平对称)

    代码所输出的两个各矩阵分别是：

    其中，后者是下面两个矩阵相乘的结果：

     

    大家可以对照第一部分中的“五、对称变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

    9.     对称变换(垂直对称)

    代码所输出的两个矩阵分别是：

    其中，后者是下面两个矩阵相乘的结果：

     

    大家可以对照第一部分中的“五、对称变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

    10.   对称变换(对称轴为直线y = x)

    代码所输出的两个矩阵分别是：

    其中，后者是下面两个矩阵相乘的结果：

     

    大家可以对照第一部分中的“五、对称变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

    11.   关于先乘和后乘的问题

    由于矩阵的乘法运算不满足交换律，我们在前面曾经多次提及先乘、后乘的问题，即先乘就是矩阵运算中右乘，后乘就是矩阵运算中的左乘。其实先乘、后乘的概念是针对变换操作的时间先后而言的，左乘、右乘是针对矩阵运算的左右位置而言的。以第一部分“二、旋转变换”中围绕某点旋转的情况为例：

     

    越靠近原图像中像素的矩阵，越先乘，越远离原图像中像素的矩阵，越后乘。事实上，图像处理时，矩阵的运算是从右边往左边方向进行运算的。这就形成了越在右边的矩阵(右乘)，越先运算(先乘)，反之亦然。

    当然，在实际中，如果首先指定了一个matrix，比如我们先setRotate()，即指定了上面变换矩阵中，中间的那个矩阵，那么后续的矩阵到底是pre还是post运算，都是相对这个中间矩阵而言的。
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