线性代数学习笔记

一：线性方程组

*线性方程组的基本问题：

1.如何判别线性方程组是否有解？

2.当线性方程组有解时，如何判定其解是否唯一？

3.如何求出有解线性方程组的解？                              

线性方程组的初等变换：

1.互换第i个方程与第j个方程的位置

2.方程组中第i个方程乘以非零常数h

3.第i个方程的k倍加到第j个方程上

*解线性方程组的方法：消元法

 通解：方程组有无穷多个解时，对所有解的描述称为方程组的通解。通解中一定包含任意常数（c）

*线性方程组的一下几个事实：

1.方程组作为整体运算

2.未知数不参与运算

3.M x N线性方程组与m个有序数组一一对应

定 理 1：如果对线性方程组(L1)作有限次初等变换得方程组(L2),则方程组(L1) 与方程组 (L2) 是同解的

 

二：矩阵

实矩阵：元素都是实数的矩阵

行矩阵：1*n

列矩阵：n*1

1*1矩阵A=(a)等同于数a

零矩阵：元素都为0

*与线性方程组有关的矩阵：

1.系数矩阵

2.未知数构成的列矩阵

3.常数构成的列矩阵

4.增广矩阵

*矩阵的初等行变换：

1.互换第i行与第j行  Ri <-> Rj

2.第i行乘以非零常数h  hRi

3.第i行的k倍加到第j行  kRi + Rj

阶梯型矩阵（T）：

定理2：对任意矩阵A存在阶梯型矩阵T，使得A与T是行等价的。（A可以经有限次初等行变换华为阶梯型）

T的主元：非零函数的第一个非零元1；

说明：T的主元个数等于其非零行个数，任意矩阵都存在其阶梯型矩阵

*矩阵的阶梯型不是唯一的，非零行的个数是唯一的

秩：矩阵A的非零行个数，记作r(A)

秩的性质：不大于其行数，也不大于其列数，即r<min{m,n}

简化阶梯型矩阵：

定义：阶梯型矩阵T的主元所在列只有一个非零元

定理3：矩阵的阶梯型的非零行的个数是唯一的

定理4：对任意矩阵A ，存在简化阶梯型矩阵，使得A与T是行等价的（或者A可以经过有限次初等行变换华为简化阶梯型矩阵T，T称为A的简化阶梯型矩阵）

*任意矩阵的简化阶梯型是唯一的

关于线性方程组的基本定理：

 *用增广矩阵的简化阶梯型研究现行方程组的性质

*T的主元所在列对应的未知数称为主元未知数，其余的未知数称为自由未知数

根据∂=1或∂=0分两种情况讨论方程组：

情况1：∂=1这等价于r(A)<r(A, β)   

方程组第r+1个方程为0=1，方程组无解

情况2：∂=0这等价于r(A)=r(A, β)

当r(A)=r(A, β)=n,方程组有唯一解

当r(A)<r(A, β),方程组有无穷多个解

定理5：设 (L1) , 是 m* n 线性方程组，A是（L1）的系数矩阵, 我们有如下结论:

(1)方程组(L1)有解的充分必要条件是

r(A)=r(A, β) 

(2)方程组(L1)有解并且解唯一的充分必要条件是

r(A)=r(A, β)=n

进一步地,

A是 (L1)的系数

当(L1) , 的解不唯一时 (L1) . 有无穷多个解

齐次线性方程组：

定义：常数项都为0的线性方程组，一定有解

定理6：如果m*n齐次线性方程组（H1）的系数矩阵为A，那么（H1）有非零解的充分必要条件是r(A)<n

矩阵的线性运算：

矩阵的加法：C=A+B

矩阵的数乘：B=kA

矩阵的乘法运算：

说明：只有A的列数等于B的行数，A与B的乘积才有意义；AB继承了A的行数，B的列数

线性方程组的矩阵表达形式：

1.Ax=β

2.x₁a₁+x₂a₂+….+x_na_n=β

3.有1,2可得x₁a₁+x₂a₂+….+x_na_n =AX

性质：矩阵乘法不满足交换律和消去律

方阵：

定义：行数和列数相等的矩阵称为方阵；行数和列数都为n的方阵称为n阶矩阵或n阶方阵

单位矩阵：对角元都等于1，其他元素都等于零的方阵。N阶单位矩阵记作I_n

性质：

1.s，t非负：A^sA^t=A^s+t,(A^s)^t=A^st

2.A,B是同阶方阵，m是正整数，如果AB=BA，则（AB）^m=A^mB^m

方阵的多项式：

F(x)=a₀X^m+a₁X^m-1…..a_mX⁰

对于方阵A，方阵A的多项式为：

F(A)=a₀A^m+a₁A^m-1…..a_mA⁰

性质：若f(x)=g(x)h(x),则f(A)=g(A)h(A)

矩阵的转置：

 性质：

(A^T)^T=A

(A+B)^T = A^T+B^T

(kA)^T=kA^T

(AB)^T=B^TA^T

初等矩阵：

 矩阵的初等列变换

1.互换第i列与第j列 

2.第i列乘以非零常数h 

3.第i列的k倍加到第j列 

N阶初等矩阵：对n阶单位矩阵I_n做一次初等变换得到的矩阵

三种初等矩阵：

1.互换单位矩阵的两行或两列

2.用非零常数乘以单位矩阵的某行过某列

3.单位矩阵的某行（列）的常数倍加到另一行（列）

*初等矩阵的转置是同种类型的初等矩阵

初等矩阵的应用：

引理1：如果互换A的第i，j两行得到矩阵B，那么B=E_m(i<->j)A

引理2：如果互换A的第i，j两列得到矩阵C，那么C= A E_m(i<->j)

引理3：如果A的第i行乘以非零常数h得矩阵B，那么B= E_m(i(h))A

引理4：如果A的第i列乘以非零常数h得矩阵C，那么C= A E_m(i(h))

引理5：如果A的第i行的k倍加到第j行得矩阵B，那么B= E_m(i(k)->j)A

引理6：如果A的第i列的k倍加到第j列得矩阵C，那么B= A E_m(i(k)->j)

 

定理1：设A是m*n矩阵，如果对A作一次初等行变换得矩阵B，相同的初等行变换作用到m阶单位矩阵得初等矩阵p，则B=PA；如果对A作一次初等列变换得矩阵C，相同的初等行变换作用到n阶单位矩阵得初等矩阵Q，则C=AQ；

反过来，如果存在初等矩阵p，是的PA=B，那么A作一次适当的初等行变换可得B；如果存在初等矩阵Q，使得AQ=C，那么对A作一次适当的初等列变换可得C

 

命题：如果P是初等矩阵，那么存在通解初等矩阵Q,使得PQ=QP=I；

推论1：n阶初等矩阵P与单位矩阵I_n是行等价的，故有r(P)=n

推论2：吐过矩阵A与B是行等价的，则B与A也是行等价的

 

命题：如果矩阵A与B是行等价的，则AC与BC也是行等价的

矩阵的秩：

引理7：如果矩阵A与B是行等价的，则A与B的非零列个数相等；如果矩阵A与C是列等价的，则A与C的非零行个数相等

命题7：矩阵A的秩不大于A的非零行个数，也不大于A的非零列个数

引理8：如果矩阵A与B是等价的，则r（A）=r（B）(B的阶梯型也是A的阶梯型)

引理9：如果对矩阵A做一次初等列变换得

定理2：如果矩阵A与B是等价的，则r(A)=r(B)

 定理3：m*n矩阵A的秩为r的充分必要条件是A等价于如下形式m*n矩阵         

命题8：r(A)=r(A^T)

定理4：r(AB)<=min{r(A),r(B)}

推论：如果m个矩阵A₁，A₂….A_m的乘积有意义，则r(A₁A₂…A_m)<=min{r(A₁),…r(A_m)}

定理5：设A为n阶矩阵，如果r(A)=n，则A可以表示为有限个n阶初等矩阵的乘积

可逆矩阵：

定义：设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA=I_n，则称A是可逆矩阵，称B为A的逆矩阵，不是可逆矩阵称为不可逆矩阵，A的可逆矩阵记作A^-1

性质6：

1.如果A是可逆矩阵，那么A的逆矩阵是唯一的

2.如果A是可逆的，则A^-1 也是可逆的，并且(A^-1)^-1=A

3.如果k为非零常数，A为可逆矩阵，那么kA也是可逆矩阵，并且(kA)^-1=k^-1A^-1

4.如果A，B为同阶可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，并且(AB)^-1=B^-1A^-1

5.如果A是可逆的，那么AT也是可逆的，并且(A^T)^-1=(A^-1)^T

6.初等矩阵是可逆的，并且初等矩阵的逆矩阵仍然是初等矩阵

引理10：如果A是n阶可逆矩阵，那么r(A)=n

引理11：有限个同阶初等矩阵的乘积是可逆矩阵

定理6：设A为n阶矩阵，下列论断彼此等价：

1.A是可逆矩阵

2.r(a)=n

3.A可以表示为有限个n阶初等矩阵的乘积

证明方式：循环论证

1 =>(引理10) 2 =>(定理5) 3 =>(引理11) 1

推论1：设A，B都是n阶矩阵，如果乘积AB是可逆的，则A与B都是可逆的

推论2：设A是n阶矩阵，并且线性方程组AX=β有解，AX=β的解唯一的充分必要条件是A为可逆矩阵。当A可逆时，AX=β的唯一解为X=A^-1β.设A是n阶矩阵，齐次线性方程组AX=0有非零解的充分必要条件是A为不可逆矩阵

推论3：设A是m*n矩阵，如果p是m阶可逆矩阵，Q是n阶可逆矩阵，那么：

r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)

推论4：m*n矩阵A的秩为r的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵Q，使得PAQ=K_r(m,n)

可逆矩阵的求法：

*用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵:

设A是n阶可逆矩阵

1.构造n*(2n)矩阵(A,I_n);

2.用初等行变换将(A,I_n)化为简化阶梯型(I_n，A^-1)

3.写出A的逆矩阵A^-1

分块矩阵：

加法：数乘：乘法：转置原理都一样

定理7：如果A是m阶可逆矩阵，D是n*t阶矩阵，那么下列3个等式成立：

 

 

几种常见的特殊方阵：

对称矩阵与反对称矩阵：设A是方阵，如果A^T=A，则称A为对称矩阵；如果A^T=-A，则称A为反对称矩阵

命题9：如果A是方阵，则A+A^T是对称矩阵，A-A^T是反对称矩阵

命题10：如果A是方阵，则A可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和

对角矩阵：设A是方阵，如果A的对角线以外的元素都为零，则称A为对角矩阵

数量矩阵：对角元都相等的对角矩阵，对角元的值都为1的对角矩阵称为单位矩阵

命题11：对角矩阵的秩等于其非零对角元的个数，因此对角矩阵A=diag（a1,a2…an）为可逆矩阵的充分必要条件是其对角元都不为零

准对角矩阵：设A是方阵，如果对A的行和列作相同的个、划分，得到的分块矩阵中，对角线以外的块都为零。

命题12：准对角矩阵为可逆矩阵的充分必要条件是其对角快都是可逆的

上三角与下三角矩阵：设A是方阵，如果A的对角线以下（上）的元素都为零，则称A为上（下）三角矩阵

命题13：上三角矩阵的转置为下三角矩阵；下三角矩阵的转置为上三角矩阵

定理8：上（下）三角矩阵为可逆矩阵的充分必要条件是它的对角元都不为零，可逆上（下）三角矩阵的逆矩阵仍然是上（下）三角矩阵

命题14：上（下）三角矩阵的秩不小于其非零对角元的个数

 

矩阵论创始人：阿瑟凯莱

三：向量

向量与向量空间：

F：实数集或复数集

N元向量：设a₁,a₂,….a_n属于F。列矩阵（a₁,a₂…..a_n）^T称为F上的n元向量

实向量：元素都为实数的向量

零向量：n个零构成的向量

分量：向量中的元素

Fⁿ：F上所有n元向量构成的集合

向量的线性运算：加法，数乘

         向量的线性运算构成了矩阵的线性运算的性质

向量空间：设V是Fn上的非空子集，如果①对于任意的α,β∈V，都有α+β∈V，②对任意的k∈F，α∈V都有kα∈V；

①V对向量的加法封闭；②V对数与向量的乘法封闭，

向量空间的子空间：

子空间：设V是F上的向量空间，W是V的非空子集，W也是F上的向量空间

命题1：如果V1，V2是F上的向量空间V的子空间，那么①V1与V2的交V1∩V2是V的子空间；②V1+V2={α+β：α∈V1，β∈V2}是V的子空间，称为V1和V2的和

线性组合：设a1,a2…at是F上的向量空间V中的一组向量，对F中的任意常数k1,k2,…kt,表达式k1a1+k2a2+…ktat称为a1,a2…an的线性组合。

命题2：L(a1,a2…at)是V的子空间

生成子空间：L(a1,a2…at)称为由V中向量组a1,a2…at生成V的子空间

与矩阵有关的向量空间：

解向量：设A是F上的m*n矩阵，F上的线性方程组AX=β的解X是Fn中的一个向量，称为AX=β的解向量

N（A）：称为A的零空间，或者称为齐次线性方程组AX=0的解空间

命题3：N（A）是F上的向量空间

由A的列构成的向量组：设A=（aij）是F上的m*n矩阵，将A的n个列记作a1，a2…an;a1，a2…an∈F^m称为由A的列构成的向量组

A的列空间（A的值域）：A的n个列构成的向量组a1,a2,…an生成的F^m的子空间L(a1,a2…an)称为A的列空间，也称为A的值域，记作R（A）

由A的行构成的向量组：将A的m个行记作b1，b2…bn;b1，b2…bn∈Fⁿ称为由A的行构成的向量组

A的行空间（A的值域）：A的行构成的向量组b1，b2…bn生成的Fⁿ的子空间L(b1，b2…bn)称为A的行空间，记作R（A^T）

按列构成的矩阵：设a1,a2…at是Fn中的向量组。n*t矩阵(a1,a2…at)称为由向量组

a1,a2…at按列构成的矩阵

按行构成的矩阵：t*n矩阵称为a1,a2…at按行构成的矩阵

向量组的线性相关与线性无关：

定义：设a1,a2…at是Fn中的向量组，如果存在不全为零的常数k1,k2…kt∈F,使得k1a1+k2a2….ktat=0;则称a1,a2…at是线性相关的，否则是线性无关的

命题4：向量组a1,a2…at线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组AX=0有非零解。（即就k的解）

向量由向量组的线性表示：

线性表示：设a1,a2…at是Fn中的向量组。如果β∈Fn能够表示为a1,a2….at的线性组合，即存在F中常数k1,k2,….kt,使得β=k1a1+k2a2….ktat,则称向量β可由向量组a1,a2,….at线性表示

命题5：设向量a1,a2,….at, β∈Fn。向量β可由向量组a1,a2,….at线性表示的充分必要条件是线性方程组x1a1+x2a2+….+xtat=β有解

定理1：Fn中向量组a1,a2…at(t>=2)线性相关的充分必要条件是向量组a1,a2…at中至少存在一个向量可由其余向量线性表示

定理2：如果Fn中的向量组a1,a2…at，β线性相关，那么向量β可以由a1,a2…at线性表示，并且表示的方法是唯一的

向量组的线性表示：

线性表示：设a1,a2….as与b1,b2…bt是Fn中的两个向量组。如果a1,a2,….as中的每个向量都可由b1,b2…bt线性表示，则称a1,a2…as可由b1,b2…bt线性表示

命题6：设a1,a2….at是Fn中的向量组,a1,a2…at中部分向量构成的向量组可由a1,a2….at线性表示

定理3：设a1,a2….as与b1,b2…bt是Fn中的两个向量组，那么下列结论成立：

①a1,a2…as可由b1,b2…bt线性表示的充分必要条件是存在t*s矩阵C使得（a1,a2…as）=（b1,b2…bt）C

②设（a1,a2…as）=（b1,b2…bt）C。如果b1,b2…bt是线性无关的，则C是唯一的；如果a1,a2…as是线性无关的，则r(C)=s

推论1:设a1,a2….as与b1,b2…bt是Fn中的两个向量组，如果设a1,a2….as可由b1,b2…bt 线性表示，并且a1,a2…as线性无关，那么s<=t

推论2：如果向量组a1,a2….as可由b1,b2…bt线性表示，b1,b2…bt可由r1,r2….ru线性表示，那么a1,a2…as可由r1,r2….ru线性表示

向量组的等价：

定义：设a1,a2…as与b1,b2,bt是Fn中的两个向量组，如果a1,a2…as可由b1,b2….bt线性表示，b1,b2…bt也可以由a1,a2,….as线性表示，那么称a1,a2…as与b1,b2…bt等价

命题7:向量组等价满足①对称性②传递性

引理1：a1,a2…as与b1,b2…bt是Fn中的两个向量组。如果a1,a2…as可由b1,b2…bt线性表示，那么L（a1,a2…as）包含于L（b1,b2…bt）

命题8：如果a1,a2…as与b1,b2…bt是Fn中的两个向量组，那么{a1,a2…as}等价于{b1,b2…bt}的充分必要条件是L（a1,a2…as）=L（b1,b2…bt）

向量组的秩：

极大线性无关组：设a1,a2….at是Fn中的一个向量组，ai1,ai2…air是a1,a2…at中的部分向量构成的向量组。如果

①ai1,ai2…air是线性无关的

②②对a1,a2…at中的任意向量ak,向量组ai1,ai2…air,ak都是线性相关的，那么称ai1,ai2..air是a1,a2…ak的极大线性无关组，简称极大无关组

命题9：如果ai1,ai2…air是a1,a2…at的极大无关组，那么a1,a2…at中的任意向量ak都可由ai1,ai2…air线性表示

命题10：向量组和它的极大无关组是等价的（命题6和命题9）

命题11：想狼族a1,a2…at的极大无关组中向量的个数是唯一的

向量组的秩：向量组a1,a2…at的极大无关组中向量的个数称为向量组的秩，记作r{a1,a2…at}

命题12：向量组的秩为r的充分必要条件是

①向量组中存在r个线性无关的向量

②向量组中任意r+1个向量（如果存在的话）都是线性相关的

命题13：向量组a1,a2…at线性相关的充分必要条件是r{a1,a2…at}<t

定理4：如果向量组a1,a2..as可由向量组b1,b2…bt线性表示，那么r{a1,a2….as}<=r{b1,b2…bt}

推论1：等价的向量组的秩相等

推论2：部分向量构成的向量组的秩<=向量组的秩

矩阵的秩与向量组的秩之间的关系：

引理2：如果对F上的m*n矩阵A作一次初等行变换得B，那么A的行构成的向量组与B的行构成的向量组等价

定理5：如果F上的m*n矩阵A与B是行等价的，那么①A的行构成的向量组b1,b2…bm与B的行构成的向量组r1,r2…rm等价②A的行空间与B的行空间相等，即R(A^T)=R(B^T)

引理3：如果T是简化阶梯型矩阵，那么T的秩等于它的行构成的向量组的秩，也等于它的列构成向量组的秩

定理6：F上的m*n矩阵A的秩等于它的行构成的向量组的秩，也等于它列构成向量组的秩

推论：方阵A可逆的充分必要条件是A的行（列）向量组线性无关

向量的基与维数：

基：设Fn的非空子集V是F上的向量空间，如果V中的（有序）向量组a1,a2…am满足：①a1,a2…am线性无关②V中的向量都可由a1,a2…am线性表示，那么称向量组a1,a2…am是V的一个基

命题14：如果a1,a2…am与b1,b2…bt都是向量空间V的基，则称m=t

维数：F上的向量空间V中的基中向量的个数称为V的维数，记作dimV

定理7：F上的m维向量 空间V中的任意m个线性无关向量a1,a2…am都是V的一个基，并且V=L(a1,a2…am)

命题15：如果V是F上的向量空间，a1,a2…as是V中的一个向量组，那么a1,a2…as的极大无关组是L(a1,a2…as)的一个基

命题16：如果正整数s<m，那么m维向量空间V中的任意s个线性无关向量a1,a2…as都可以扩充为V的基a1,a2…as,as+1,….,am.

向量关于基的坐标：设V是F上的m维向量 空间，a1,a2…am是V的一个基，对任意的a属于V，存在唯一一组常数x1,x2…xm,使得a=x1a1+x2a2+…+xmam.表达式中的常数x1,x2…xm称为向量a关于基a1,a2…am的坐标，xi是向量a关于基的第i个坐标

基变换与坐标变换：

 过度矩阵：设a1,a2…am与b1,b2…bm是F上的m维向量空间V的两个基，将  b1,b2,…bm表示为a1,a2,…am的线性组合，其矩阵形式为（b1,b2…bm）=（a1,a2…am） A,其中A称为a1,a2…am到基b1,b2…bm的过度矩阵

定理8：如果V是F上的m维向量空间，那么①V的基a1,a2…am到基b1,b2…bm的过渡矩阵A是唯一的②V的基a1,a2…am到基b1,b2…bm的过渡矩阵A是可逆的，并且A^-1是基b1,b2…bm到基a1,a2…am 的过渡矩阵

定理9：设a1,a2…am与b1,b2…bm是F上的m维向量空间V的两个基，基a1,a2…am到基b1,b2…bm的过渡矩阵为A。对于任意的r属于V，如果r关于a1,a2…am的坐标为X=（x1,x2…xm）^T,r关于b1,b2…bm的坐标为Y=（y1,y2…ym）^T,那么Y=A^-1X

坐标变换公式：表达式Y=A^-1X称为向量r从基a1,a2…am到基b1,b2…bm的坐标变换公式

齐次线性方程组的解的向量形式：

齐次线性方程组有非零解的条件：如果AX=0是F上的m*n齐次线性方程组，那么下列论断等价：①AX=0有非零解②r(A)<n③A的列向量组线性相关

定理10：如果F上的m*n矩阵A的秩为r，则齐次线性方程组AX=0的解空间N(A)的维数为n-r.

推论：设A是F上的m*n矩阵，则A的行空间R（A^T）的维数与零空间的N（A）的维数满足：dimR(A^T)+dimN(A)=n

基础解系：齐次线性方程组AX=0的解空间的基称为方程组的基础解系

非齐次线性方程组的解的向量形式：

非齐次向量方程组有解的条件：设A是F上的m*n矩阵，a1,a2…an是A的列向量组，那么下列论断等价：①线性方程组AX=β有解②r(A)=r(A, β)③β∈R(A)=L(a1,a2…an)④{a1,a2…an}等价于{a1,a2…an, β}

定义：齐次线性方程组AX=0称为非齐次线性方程组AX=β的导出方程组

引理4:如果r1,r2都是线性方程组AX=β的解，那么ξ=r1-r2是其导出方程组AX=0的解

引理5：如果r是线性方程组AX=β的解，ξ是其导出方程组AX=0的解，则r+ξ是AX=β的解

通解：设F上的m*n线性方程组AX=β有无穷多个解，即r（A）=r(A+B)<n。设γ₀

是AX=β的一个特解，ξ1，ξ2…ξt是其导出方程组AX=0的一个基础解系。如果γ是AX=β的解，则存在c1,c2…ct∈F，使得γ=γ0+c1γ1+c2γ2…ctγt.进一步地，当c1,c2…ct为F中任意常数时，γ=γ0+c1γ1+c2γ2…ctγt.是线性方程组的通解。

实向量的內积与正交：

內积：对任意的a=(a1,a2…an)^T,b=(b1,b2….bn)^T ∈Rn,下列实数a^Tb=a1b1+a2b2…anbn称为a与b的內积，记作（a,b）

性质2：对任意a,b,r∈Rn，k∈R，我们有①（a,b）=(b,a)②（a+b,r）=(a,r)+(b,r)③（ka,b）=k(a,b)④（a,a）>=0,并且(a,a)=0当且仅当a=0.

单位向量：|a|=1

定理12：对任意的a,b∈Rn,我们有|（a,b）|<=|a|*|b|  柯西不等式

正交：设a,b属于Rn，如果（a,b）=0,则称a与b正交。零向量与任意向量正交

命题17：对任意的a,b∈Rn，我们有①|a+b|<=|a|+|b|;(三角不等式)②如果a与b正交，则|a+b|²=|a|²+|b|²  (勾股定理)

规范正交向量组：

正交向量组：设a1,a2…at都是向量空间Rn中的非零向量，如果向量组a1,a2…at中的向量两两正交，则称a1,a2…at为Rn中的正交向量组

规范正交向量组：如果正交向量组a1,a2…at中的向量都是单位向量，则称a1,a2…at为规范正交向量组。约定：只含一个非零向量的向量组是正交向量组

命题18：如果a1,a2…at是向量空间Rn中的正交向量组，则a1,a2..at是线性无关的

定理13：设V包含于Rn是R上的向量空间，如果a1,a2…at是V中的线性无关向量组，那么存在V中正交向量组b1,b2…bt使得{a1,a2…as}等价于{b1,b2…bs},s=1,2….t

定理14：：设V包含于Rn是R上的向量空间，如果a1,a2…at是V中的线性无关向量组，V中存在规范正交向量组η1，η2…ηt使得{a1,a2…as}等价于{η1，η2…ηs},s=1,2….t

规范正交基：

正交基：设V包含于Rn是R上的向量空间，a1,a2…at是V的基，如果a1,a2…am是正交向量组，则称为V的正交基

规范正交基：如果a2,a2,am是规范正交向量组，则称为V的规范正交基

定理15：R上的m维向量空间V中一定存在规范正交基

命题19：如果a1,a2…am是R上的向量空间V的规范正交基，则V中任意向量b在基a1,a2…am下的坐标为(b,a1),(b,a2)…(b,am),即b=(b,a1)a1+(b,a2)a2+…(b,am)am

四：行列式

二阶行列式：

定义：由二阶矩阵A矩阵决定的表达式a11a22-a12a21称为A的行列式，记作detA=|A|=a11a22-a12a21,二阶矩阵的行列式称为二阶行列式

 二阶行列式的性质：

                   性质1：如果互换A的两列得B，则|B|=-|A|

                   推论：如果A的两列相等，则|A|=0

                   性质2：如果A的某列乘以常数k得B，则|B|=k|A|

                   推论1：如果A含有0列，则|A|=0

                   推论2：如果k是常数，则det(kA)=k²detA

                   推论3：如果A的两列对应元素成比例，则|A|=0

                   性质3：

 

                   性质4：如果A的某列的k倍加到两一列得矩阵B，那么|B|=|A|

                   性质5：|A^T|=|A|

 N阶行列式的定义：

余子阵：对于n阶行列式A，划去A的一元aij所在的第i行和第j列，剩下的元素按原来位置排成的n-1阶矩阵Mij，称为aij在A中的余子阵

余子式：|Mij|称为aij在A中的余子式

代数余子式：A_ij=（-1）^i+j|M_ij|称为aij在A中的代数余子式

N阶行列式：A的行列式定义为a11A11+a22A22+….a1nA1n=∑a1jA1j，记作detA或|A|

行列式的性质：

                   性质6：如果互换n阶矩阵A的第s,t两列得到的矩阵为B，那么detB=-detA

                   推论：如果n阶矩阵A有两列相等，则detA=0

                   性质7：如果n阶矩阵A的第t列乘以常数c得矩阵B，则detB=c*detA

                   推论1：如果n阶矩阵A含有0列，则detA=0

                   推论2：如果n阶矩阵A中有两列对应元素成比例，则detA=0

                   推论3：如果A是n阶矩阵，c是常数，则det(cA)=cⁿdetA

性质8：设n阶矩阵A的第t列的元素都是两数之和，A，B，C这三个矩阵只有第t列不相等，其余列都相等，并且B与C的第t列之和等于A的第t列，那么|A|=|B|+|C|

性质9：如果n阶矩阵A的第t列的k倍加到第s列得到的矩阵为B，那么detB=detA

行列式非零矩阵：

定义：设A是n阶矩阵，如果detA≠0,则称A是非奇异的，如果detA=0,则称A是奇异的

引理1：初等矩阵是非奇异的，并且detEn(i<->j)=-1;detEn(i(h))=h(h≠0);detEn(i(k)->j)=1;

                   引理2：如果A是n阶矩阵，Q是n阶初等矩阵，那么det(AQ)=detA*detQ

                   引理3：n阶矩阵A是非奇异的当且仅当A的秩为n

                   定理1：如果A是n阶矩阵，那么下列论断等价：

①A是非奇异的

②A的秩为n

③A是可逆的

④A的列（行）向量组是线性相关的

⑤齐次线性方程组AX=0只有零解

⑥非齐次线性方程组AX=β有唯一解

定理2：如果A,B是两个n阶矩阵，那么det(AB)=detA*detB

推论1：如果A1,A2…As都是n阶矩阵，则det(A1A2…As)=(detA1)(detA2)…(detAs)

推论2：如果A是可逆矩阵，则det(A^-1)=det(A)^-1

方阵的转置的行列式：

引理4：如果p是初等矩阵，则det(P^T)=detP

性质10：如果A是n阶矩阵，则det(A^T)=detA

按任意一行（列）展开行列式：

引理5：设n>=2,A=(aij)是n阶矩阵，A的行列式等于A的任意一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和：

                            detA=ai1Ai1+ai2Ai2…+ainAin

引理6：设A=（aij）是n>=2阶矩阵，A的行列式等于A的任意一列的各元素与其对应的代数余子式乘积之和：

         detA=a1iA1u+a2iA2i…+aniAni

引理7：设A=（aij）是n>=2阶矩阵，如果h,i∈{1,2…n},h≠i，那么，A的第h行的各元素与第i行的对应的元素的代数余子式乘积之和等于0，即：

         ah1Ai1+ah2Ai2+….ahnAin=0

引理8：设A=（aij）是n>=2阶矩阵，如果j,k∈{1,2…n}，j≠k,那么，A的第j列的各元素与第k列的对应元素的代数余子式乘积之和等于0，即：

         a1jA1k+a2jA2k+….anjAnk=0

定理3：设n>=2.如果A=（aij）是n阶矩阵，那么

         ah1Ai1+ah2Ai2+….ahnAin={|A|，如果h=i;0,如果h≠i}

         a1jA1k+a2jA2k+….anjAnk={|A|,如果j=k;0,如果j≠k}

伴随矩阵：

 

定理4：如果A是n阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，那么AA*=A*A=|A|I_n

 

行列式在线性代数方面的应用：

子矩阵：A的一个子矩阵就是去掉A的一些行和列剩下的元素按原来的相对位置排成的矩阵

         子方阵：子矩阵的行与列相等的矩阵

         子式：A的子方阵的行列式称为A的一个子式

         定理5：矩阵A的秩等于A的非零子式的最大阶数

         克莱姆法则：

 

 

 

行列式在几何方面的应用：

         共线，共面  == 》  线性相关

 

         正交  == 》 垂直