经典控制理论
动态系统建模
通过配置系统输入u(t)，使u(s)G(s)的极点使系统满足一定特性
一阶系统特性
(G(s) = frac{a}{s+a})
(frac{1}{a})是时间常数( au)，对应上升为0.63
(4 au)对应阶跃响应0.98
二阶系统特性
(mddot x+Bdot x+kx=F)
(ddot x+2omega_nxi dot x+omega_n^2x=frac{F}{m})
阻尼比固有频率:(omega_nsqrt{1-xi^2})
单位化：(u(t)=frac{F}{omega_n^2})
(H(s) = frac{omega_n^2}{s^2+2xiomega_ns+omega_n^2})
零极点图：
极点全部在左，系统稳定
虚轴长度代表振荡周期
实轴长度代表衰减速度
(cos heta)代表阻尼比
SISO system稳定性判据
特征多项式系数判断传递函数稳定性
- Hurwitz霍尔维兹判据：构建霍尔维兹行列式，全部为正
(D1 = a_1)
(D2 = egin{pmatrix}
a_1&a_3\
a_0&a_2
end{pmatrix})
(D3 = egin{pmatrix}
a_{1}& a_{3}& a_{5}\
a_{0}& a_{2}& a_{4}\
0& a_{1}& a_{3}
end{pmatrix})
- Lienard-Chipard林纳德-齐帕特判据：系数都大于零，奇数或偶数阶次行列式
- Routh劳斯判据：
求(e_{ss})时顺序，1判断稳定性、2求E(s)，3应用终值定理(e_{ss} = lim limits_{s ightarrow0}sE(s)) - 频率稳定判据：
H. Nyquist奈奎斯特判据，开环频率特性，判断闭环稳定性
(F(s) = 1 +G(s)H(s))的p，极点，是开环传函极点
z零点，闭环传递函数的极点封闭曲线内(R=P-Z)
频率特性
- 只适用于线性定常模型，否则不能拉式变换
- 稳定条件下使用
bode图单位用dB：20log(Mo/Mi)，表征了能量
- 幅值相应:magnitude response
(frac{M_o}{M_i} = left | G(jomega) ight |) - 幅角响应:Phase response
(phi_o-phi_i = angle G(jomega)) 带阻尼比的共振频率:
(omega = omega_n sqrt{1-2zeta^2}\)
此时的极值：(frac{1}{2zetasqrt{1-zeta^2}})幅值裕度h：相位为-π时，幅值距0dB的差值
相位裕度(gamma):幅值为1（0dB）时，相位距-π的差
根据幅相图，(0,0)出发为开环，(-1,0)出发为闭环不同频段信息
- 低频段(G(jomega))反映了系统的稳态精度
0dB/sec->稳态精度 - 中频段：穿越0dB(omega_c)
反映了系统的平稳性和快速性
-20dB/sec开环积分，闭环一阶，快速性
-40dB/sec开环双积分，闭环二阶，零阻尼，频率段不宜过宽，穿越频率取-20斜率 - 高频段反映了系统对高频干扰抑制能力
系统矫正
串联矫正
超前矫正
(G_c(s)=frac{1+aTs}{1+Ts},a>1)滞后矫正
(G_c(s)=frac{1+bTs}{1+Ts},b<1)滞后超前矫正
两个合起来PID矫正器
复合矫正
前置矫正：指令->Gc(s)->误差，一般补偿分母s，开环前向增益1
干扰前置补偿：干扰测量->Gc(s)->误差，误差->干扰端传函(Gs^{-1})
根轨迹
（开环->闭环稳定性）:分析G(s)的N、P，看闭环系统稳定性
开环传递函数中开环增益K从0-无穷时，闭环特征根的移动轨迹
单位负反馈闭环传递函数
(phi(s) = frac{C(s)}{R(s)}=frac{G(s)}{1+G(s)})
G(s)是一个
非线性系统
叠加原理不适用
常规分类：
死区
饱和
间隙-滞环
系统收敛：消耗系统能量
系统发散：从外界获取能量
相关词汇
(X_{ss}(t)):ss-steady state
(T_s)Delay time
(T_r)Rise time
(M_p)Max Overshoot
(T_{ss})Setting time调节时间
BIBO:输入稳定，输出稳定bounded input-bounded output
Real:实轴
Im：虚轴
Proportional：比例
Integral：积分
Differential：微分
bounded input-bounded output：稳定性
(forall)for all ：任意
(exists) at least one ：存在
(left | cdot
ight |)norm：范数
工程数学基础
1. 特征值,特征向量,过渡矩阵( ightarrow)矩阵对角化
特征值(lambda)有(lambda v=Av)
( | lambda I-A | = 0)
特征值
解法：将(lambda)代回(( lambda I - A)* v = 0)
(lambda_1 、lambda_2)对应特征向量(v_1 、v_2)
过渡矩阵：特征向量组成的矩阵
(P =
egin {pmatrix} v_1&v_2
end {pmatrix})
(AP=A[v_1 v_2] = [Av_1 Av_2]=[lambda_1v_1 lambda_2 v_2]=
egin{bmatrix}
lambda_1v_{11} & lambda_2v_{21}\
lambda_1v_{12} & lambda_2v_{22}
end{bmatrix}
=PLambda
)
所以有，单位向量矩阵P将A特征值对角化矩阵
(P^-1AP = Lambda)
2. 线性化 Linearization
非线性：(1/x,sqrt{x},x^n等)
用泰勒级数展开
在平衡点(Fixed point)(x_0)附近线性化
- 令导数项为0，求得平衡点x的值(x=x_0)
- 把(x_sigma = x_0 + x_d)代入(f(x_sigma)=f(x_0)+f'(x_0)(x_sigma-x_0))
- 把(x = x_sigma)代入微分方程
将(sigma)的x用x_0和x_d替换，然后
得到了关于x_d的线性化微分方程
(dot x = A x + b u)求A的雅可比矩阵
行是函数，列为对变量的偏导；
求平衡点，代入偏导雅可比矩阵；
展开得到线性化后的微分方程
3. 卷积与LTI冲激响应（LTI：linear time invariant system）
卷积：(x(t) = f(t)*h(t)=int_0^t f( au)h(t- au)d au)
(f(t))=输入
(h(t))=单位冲激响应
(L_{卷积})=L乘积
4. 欧拉公式Euler's Formula
(e^{i heta}=cos( heta)+isin( heta))
5. 复数Complex Number
(sin(x) = C
ightarrow x = pi/2+2kpi + ln(Cpmsqrt{C^2-1})i)
(Z = a + b i )
(Re(Z) =a )
(Im(Z)=b )
(left | Z
ight | = sqrt{a^2+b^2})
(Z = left | Z
ight | cdot (cos heta+isin heta)= left | Z
ight | cdot e^{i heta})
(Z_1 cdot Z_2 = left | Z_1
ight | left | Z_2
ight | e^{ heta_1+ heta_2})
(Z+ar Z = 2a)
(Z- ar Z = 2bi)
6. 阈值选取
Normal Distribution正态分布、高斯分布
(X = (mu,sigma^2))
漏检False Dismissal
误警False Alarm
Advanced控制理论
状态空间：State-Space，包含输入、输出、状态，写成一阶微分方程的形式
(dot x = A x + B u)
(y = Cx+Du)
稳定性
两种类型
Lyapunov稳定性：有界
(forall t_0, forall epsilon >0, exists delta (t_0, epsilon):left | x(t_0) ight |<delta(t_0,epsilon)Rightarrow forall t geqslant t_0, left | x(t) ight | < epsilon)
(a \, of\, lambda_i leqslant 0)实部
判断方法：渐进稳定性：
(exists delta(t_0)>0: left |x(t_0) ight |<delta(t_0) Rightarrow
lim limits_{t ightarrow infty }
left | x(t) ight | = 0
)
(a \, of\, lambda_i < 0)实部
判别方法
- 直接方法：解微分方程(Direct method)
求解λ的值，判断正负 - 第二方法：(2nd method)
((i)V(0) = 0)
((ii) V(x) geqslant 0 , in\, D-{0}) PSD:postive semi definit
((iii)dot V(x) leqslant 0 , in\, D-{0})NSD:negative semi definit
(Rightarrow x = 0)
3. 不稳定
存在至少一个特征值实部大于零
相图分析-phase-portrait
plot(x,(dot x))，通过x初值，分析点在轨迹上的移动，判断稳不稳定
matlab绘制实例
% 画解微分方程组的相图
clear;cla;clc;
[x,y]=meshgrid(linspace(-5,5));
streamslice(x,y,0 * x + 2 * y,-3 * x + 0 * y );
xlabel('x');ylabel('y');
特征值和相图的关系
齐次状态方程解(dot x = A x)
(dot x = a x
ightarrow x(t) = e^{at}x(0))
同理，多元线性方程
(dot x = a x
ightarrow x(t) = e^{At}x(0))
其中，状态转移矩阵(Phi(t))解法
- 数值法：
(Phi(t) = e^{At}=I+At+frac{1}{2!}A^2t^2+...+frac{1}{k!}A^kt^k) - 解析法：
(Phi(t) = L^{-1}[sI-A]^{-1})
性质：
(Phi(0) = I)
(x(t) = Phi(t-t_0)x(t_0))
(Phi ^{-1}(t) = Phi(-t))
非齐次状态方程(dot x = A x + B u)
(x(t) = Phi (t)x(0)+ int_0^tPhi(t- au)Bu( au)d au)
初始状态x(0)响应+输入项u(t)响应
线性系统可控性与可观测性
可控性：(forall x(0),x(t_f), exists t_f < +infty , u[0,t_f], st. x(0)
ightarrow x(t_f))
充要条件：
(S = [b\, Ab\, A^2...\, A^{n-1}b])
理论可行，但是实际物理不一定
以离散系统为例证明：
(x_ 0 = 0\
x_1 = Ax_0 + Bu_0 = Bu_0\
x_2 = Ax_1 + Bu_1 = ABu_0 + B u_1\
x_3 = Ax_2 + Bu_2 = A^2Bu_0 + AB u_1 + B u_2\
)
Matlab 求解，Co矩阵 "ctrb(A,B)"(rank[S] = n, det \, S eq 0)
可观性：(forall t in [t_0,t_f],已知y(t),u(t),可求x(t_0))
(rank
egin{bmatrix}
C\
CA\
CA^2\
...\
CA^{n-1}
end{bmatrix}
=n
)
引理
(f(lambda) = sum_{i=0}^{n}a_ilambda ^i)
(f(A) = 0
ightarrow A^n = sum_{i=0}^{n-1}a_iA^i)
求解(left | lambda I - A
ight |)的特征多项式
将(lambda = A )代入，得到递推公式，解算(A^n)
状态反馈与状态观测器
取(u=v-kx)，其中，v为参考输入，系统闭环矩阵由A变为A-Bk
- 不改变可控性，有可能改变可观性
- 闭环特征值
状态观测器
Kalman滤波器原理以及在matalb中的实现
状态转移矩阵：
这里要改一下，改成估计量
(x_t^- = F_t x_{t-1} + B_t u_t)
状态转移矩阵:(P_t^-=FP_{t-1}F^T+Q)
协方差矩阵:
(
egin{bmatrix}
sigma_{11}&sigma_{12}\
sigma_{12}&sigma_{22}\
end{bmatrix}
)
卡尔曼方程≠状态观测器
以小车为例，讲卡尔曼滤波最优状态估计
在上图中，P是观测值(hat x)的方差
R是观测器中，来自预估值的比例
概率函数相乘，多传感器信息融合
非线性控制理论
ARC
Barbalat’s 引理 lemma
- (Vgeq0)
- (dot{V} leq -g(t)), where (g(t)geq 0)
- (dot{g}(t)in L_{infty}), if(dot{g}(t)) is bounded the g(t) is uniformly continous.
Then, (lim_{t->infty} g(t)=0)
Consquently, (lim_{t->infty} e = 0 (k eq0))