hdu 6400 Parentheses Matrix

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Problem Description

A parentheses matrix is a matrix where every element is either '(' or ')'. We define the goodness of a parentheses matrix as the number of balanced rows (from left to right) and columns (from up to down). Note that:

- an empty sequence is balanced;
- if A is balanced, then (A) is also balanced;
- if A and B are balanced, then AB is also balanced.

For example, the following parentheses matrix is a 2×4 matrix with goodness 3, because the second row, the second column and the fourth column are balanced:

)()(
()()

Now, give you the width and the height of the matrix, please construct a parentheses matrix with maximum goodness.

Input

The first line of input is a single integer T (1≤T≤50), the number of test cases.

Each test case is a single line of two integers h,w (1≤h,w≤200), the height and the width of the matrix, respectively.

Output

For each test case, display h lines, denoting the parentheses matrix you construct. Each line should contain exactly w characters, and each character should be either '(' or ')'. If multiple solutions exist, you may print any of them.

Sample Input

3
1 1
2 2
2 3

Sample Output

(
()
)(
(((
)))

题意

给一个只含'('和')'的矩阵，只考虑从行和列上的括号序列，构造一个矩阵使得合法括号序列的总数最多

分析

首先奇数行或奇数列内是不存在合法括号序列的，所以如果n或m是奇数，则最多有n/m个括号序列（即把行/列直接填充为合法序列），需要分析的是偶数行和偶数列的情况。
首先贪心一下，起点位于第一行和第一列，所以应该尽量在这些位置填'('，首先想到的是把矩形的左上边界填充为'('，右下边界填充为')'
因为第一行，第n行，第1列，第m列一定不是序列，所以这样最多有n+m-4个合法括号序列。

但有一个情况比较特殊，当n=4的时候，上面的方法其实比较亏，以牺牲第一列和最后一列的代价，却只得到了两行合法括号序列。考虑另外一种填充方法：当n比较小的时候，把第一行全部填充为'(',最后一行全部填充为')'

这样以后发现，可以通过调整剩下的位置，让剩下一半的行数成为合法的序列，于是这样最多有(n-2)/2+m=n/2-1+m个合法括号序列
比较一下上面两种方案，因为n和m是可以互换的，不妨假设m>n，第一种方案最多有m+n-4个合法序列，第二种方案最多应该有m+n/2-1，当他们相等时，m+n-4=m+n/2-1，解得n=6，也就是n,m较小的那个比6小的时候，采用第二种方案可以获得更多序列，而n,m都大于等于6的时候应该选择第一种情况。

代码

#include<stdio.h>

char w[202][202];
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
int main(){
    int kase;
    int n,m;
    scanf("%d",&kase);
    while(kase--) {
        scanf("%d %d",&n,&m);
        if((n&1)&&(m&1)){/*奇数行 奇数列 0个*/
            for(int i=0;i<n;++i)
                for(int j=0;j<m;++j)w[i][j]='(';
            
        }
        else if(n&1){/*奇数行 偶数列 n个*/
            for(int i=0;i<n;++i){
                w[i][0]='(';
                for(int j=1;j<m;++j)
                    w[i][j]='('+')'-w[i][j-1];
            }
        }
        else if(m&1){/*偶数行 奇数列 m个*/
            for(int j=0;j<m;++j){
                w[0][j]='(';
                for(int i=1;i<n;++i)
                    w[i][j]='('+')'-w[i-1][j];
            }
        }
        else {/*偶数行 偶数列*/
            if(min(n,m)<=6){/*选择方案2*/
                if(n>m){//行多，n+m/2-1个
                    for(int i=0;i<n;++i)w[i][0]='(';
                    for(int j=1;j<m-1;++j){
                        w[0][j]='('+')'-w[0][j-1];
                        for(int i=1;i<n;++i)w[i][j]='('+')'-w[i-1][j];
                    }
                    for(int i=0;i<n;++i)w[i][m-1]=')';
                }
                else {//列多，m+n/2-1个
                    for(int j=0;j<m;++j)w[0][j]='(';
                    for(int i=1;i<n-1;++i){
                        w[i][0]='('+')'-w[i-1][0];
                        for(int j=1;j<m;++j)w[i][j]='('+')'-w[i][j-1];
                    }
                    for(int j=0;j<m;++j)w[n-1][j]=')';
                }
            }
            else {//偶数行，偶数列 列+行-4个
                w[0][0]='(';w[0][m-1]=')';
                w[n-1][0]='(';w[n-1][m-1]=')';
                for(int j=1;j<m-1;++j){//
                    w[0][j]='(';w[n-1][j]=')';
                }
                for(int i=1;i<n-1;++i){
                    w[i][0]='(';w[i][m-1]=')';
                }
                for(int i=1;i<n-1;++i){
                    w[i][1]='('+')'-w[i-1][1];
                    for(int j=2;j<m-1;++j){
                        w[i][j]='('+')'-w[i][j-1];
                    }
                }
            }
        }
        /*输出*/
        for(int i=0;i<n;++i){
            for(int j=0;j<m;++j)
                printf("%c",w[i][j]);
            printf("
");
        }
    }
}

总结

一旦某一行是合法序列，那么它一定一半的位置是'('，另一半是')'，如果让合法序列出现在首行/列，末行/列，那么一半的列/行都不会是合法序列了，所以这些位置一定不要出现合法序列，那就尽量贪心，尽量填充为全'('或')'。
但是，当行/列数较小的时候，牺牲一半的行/列不一定是坏事，应该特判一下