组合数取模

组合数取模

求$${n choose{m}} mod p$$

Subtask 0

杨辉三角...

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
...

Subtask 1

[n,mle 5 imes 10^6,nle p{color{blue}{mathtt{:prime}}}le 10^{18} ]

这个数据范围其实并不良心...因为常数比较大所以...

算法很简单.线性求出阶乘与阶乘的逆元,通过一个大家都知道的转化(pj初赛知识咯...- -)

[{nchoose m}=frac{n!}{m!(n-m)!} ]

问题就是如何求阶乘的逆元了咯...

杜教的某课件里写了一种办法,可惜看不懂...但是暴力上也兹瓷哦...

当然要(O(n))求逆元的办法啦...

有个黑科技咯...(i^{-1}equiv -lfloor frac{p}{i} floor left( p mod i ight)^{-1}pmod{p})

然后只要乘着模着...就没了?

Subtask 2

[n,mle 5 imes 10^6,nle ple 10^{18} ]

如何呢?

(p)不是素数,那么就不能逆元求咯...

其实可以先筛出(n)以下的所有素数,对于它们统计(n!)的此素因数个数...

[s_d(n)=sum_i^{infty}lfloor frac{n}{d^i} floor ]

显然只有(log_dn)项...而素数个数是(Oleft(frac{n}{log{n}} ight))的...所以这部分复杂度线性...

再减一减...再快速幂依然总共线性...

就好了?

Subtask 3

[n,mle 10^{18},p{color{blue}{mathtt{:prime}}}le 10^6 ]

多组数据...

那么我们考虑预处理出所有(n! mod p)与它们的逆元...显然对于(n< p)的情况可做了...

对于剩下的情况,我们考虑Lucas定理:

[{nchoose m}equiv {{lfloorfrac{n}{p} floor}choose{lfloorfrac{m}{p} floor}}{{{n}mod{p}} choose {mmod p}}pmod{p} ]

就可以递归做咯...

一次递归规模缩小为原来(frac{1}{p}),那么询问时间复杂度(Oleft( log_pn ight))

Subtask 4

[n,mle 10^{18},p{color{blue}{mathtt{:prime}}}^cle 10^6 ]

多组数据...

Lucas定理没法用了...

然而换一个角度想...在(n!)中含(p)因子的个数是可以算出来的..那么我们可以将所有含(p)因子的先剔除,剩下的数应该是按照原来的编号(p^c)个相乘在(mod p^c)下一相等的...

含(p)因子的数直接递归处理即可..

发一份没测试过的代码:

#define cmax 25
struct Comb_Number_Small2{//O(p^c)
	linear_inverse li;
	ll facn[maxm],infacn[maxm],pp,cc;
	ll pox[cmax];
	inline void init(ll p,ll c){
		li.mx(n,p);
		ll n=1;
		pox[0]=n;
		foxe(i,1,c) n*=p,pox[i]=n;
		facn[1]=1,infacn[1]=1,pp=p,cc=c;
		foxe(i,2,n){
			facn[i]=facn[i-1],infacn[i]=infacn[i-1];
			if(i%p) facn[i]=modmul(facn[i-1],i,p),infacn[i]=modmul(infacn[i-1],li.inv[i],p);
		}
	}
	inline ll facx(ll n){
		ll k=n/pox[cc],a=modpow(facn[pox[cc]],k,pox[cc]);
		return modmul(a,facn[n%pox[cc]],pox[cc]);
	}
	inline ll infacx(ll n){
		ll k=n/pox[cc],a=modpow(infacn[pox[cc]],k,pox[cc]);
		return modmul(a,infacn[n%pox[cc]],pox[cc]);
	}
	inline ll operator()(ll n,ll m){
		if(m>n) return 0;
		ll A=n,B=m,C=A-B;
		int a=calcp(A,pp),b=calcp(B,pp),c=calcp(C,pp);
		ll q=pox[a-b-c];
		ll k=1,tt;
		while(A){
			tt=facx(A);
			k=modmul(tt,k,pox[cc]);
			A=A/p;
		}
		while(B){
			tt=infacx(B);
			k=modmul(tt,k,pox[cc]);
			B=B/p;
		}
		while(C){
			tt=infacx(C);
			k=modmul(tt,k,pox[cc]);
			C=C/p;
		}
		return modmul(k,q,pox[cc]);
	}
};

Subtask 5

[n,mle 10^{18},ple 10^6 ]

其实...这个挺丝播的...

只要分解了后做Subtask 4然后CRT就完事了...