初中数学题归纳w

刷完了一张代数

P1

计算 $left( frac{1}{1}-frac{1}{2}+frac{1}{3}-frac{1}{4}+...+frac{1}{2011}- frac{1}{2012} ight) div left( frac{1}{1007}+frac{1}{1008}+...+frac{1}{2012} ight)$

这题分隔序列错位相减.

设
S1 = 1+1/3+1/5+1/7+1/9+...+1/2011
S2 = -1/2-1/4-1/6-1/8-...-1/2012
   = 1/2+1/4+1/6+...+1/2012-(1+1/2+1/3+1/4+...+1/1006)
于是设
SA = 1/2+1/4+...+1/2012
SB = 1+1/2+1/3+...+1/1006
那么分号以上的序列为
S1 + SA - SB
S1 + SA = 1+1/2+1/3+1/4+...+1/2012
再减去 SB 可得
S1 + SA - SB = 1/1007+1/1008+...+1/2012
对比分母可知原式答案为1

P2

计算

[ sqrt[3]{frac{sqrt{5}-1}{2}+left( frac{sqrt{5}-1}{2} ight)^2} ]

这题比较简单.

观察可知(sqrt(5)-1)/2是AC这条,其平方是AD这条,互相成黄金分隔,那么它们的差DC即是AC^3,开了三次方根刚好是AC.

P3 对于任何$x,y,zin mathbb{R}$,定义运算`$otimes$`为

[ x otimes y = frac{ 3x^3y+3x^2y^2+xy^3+45 }{ (x+1)^3+(y+1)^3-60 }]

此运算从左到右结合,即$(xotimes yotimes z=(xotimes y)otimes z)$

求

[2013otimes 2012otimes 2011otimes ...otimes 3otimes 2]

这题比较良心orz.

仍然祭出观察大法.

注意到对于任何$xotimes 3$,都有$xotimes 3=9$

那么只需要求出$9otimes 2=frac{5463}{967}$即可.

P4 已知

[ x-y=6,sqrt{x^2-xy}+sqrt{xy-y^2}=9]

求$sqrt{x^2-xy}-sqrt{xy-y^2}$的值.

这题傻逼题,一眼秒.

观察一下已知与未知的关系,我们显然可以套用平方差公式.

[ left( sqrt{x^2-xy}+sqrt{xy-y^2}=9 ight) left( sqrt{x^2-xy}-sqrt{xy-y^2} ight) = (x-y)^2 = 36 ]

那么原式就为$36div 9=4$.

P5 设$abc=1$,求$frac{a}{ab+a+1}+frac{b}{bc+b+1}+frac{c}{ac+c+1}$的值.

这道题很有意思.

不妨设
 a = 1/x
那么
 bc = x
因此
 b=x/c
带入原式得
原式$=frac { frac { 1 }{ x }  }{ frac { 1 }{ c } + frac{1}{x}+1}+frac{frac{x}{c}}{x+frac{x}{c}+1}+frac{c}{frac{c}{x}+x+1}$
对分子通分,乘上去可得
原式$=frac { c }{ c+x+1 } +frac { x }{ c+x+1 } +frac { 1 }{ c+x+1 } $
这它喵是个shenmegui?!
不就是传说中的大名鼎鼎的$1$嘛.

P6 已知$x,y,zin mathbb{R},frac{x}{y+z}+frac{y}{x+z}+frac{z}{x+y}=1$,求$frac { x^2 }{ y+z } +frac { y^2 }{ x+z } +frac { z^2 }{ x+y } =1$的值.

这道题非常非常有意思.

这题的标解是乱搞.

我们对第一个式子进行通分,等式两端乘上分子,乱搞一通消去两端相同的项,惊讶的发现...

[-xyz=x^3+y^3+z^3]

好玩耶!(有兴趣的读者可以自己化化看)

对所求的式子通分,基本和上面的差不多.

问题就是这个通分的式子,不可做,怎么办!!!

我们将它整理一下.

(以下步骤只写分母)

$x^{ 4 }quad +quad x^{ 3 }yquad +quad x^{ 2 }yzquad +quad xy^{ 3 }quad +quad y^{ 4 }quad +quad y^{ 3 }zquad +quad xy^{ 2 }zquad +quad z^{ 2 }xyquad +quad z^{ 4 }quad +quad z^{ 3 }yquad +quad xz^{ 3 }$

=

$x^4+y^4+z^4+x^3y+x^3z+xy^3+y^3z+z^3y+z^3x+left( x+y+z ight)xyz$

=

$x^4+y^4+z^4+x^3y+x^3z+xy^3+y^3z+z^3y+z^3x+left( x+y+z ight) left( -x^3-y^3-z^3 ight)$

=

$x^4+y^4+z^4+x^3y+x^3z+xy^3+y^3z+z^3y+z^3x-left( x^4+y^4+z^4+x^3y+x^3z+xy^3+y^3z+z^3y+z^3x ight)$

=

$0$

是不是很有趣

尼萌随意感受下...

P7

这道题真的非常有趣.

窝萌积到$left( x^2-x-2 ight)^6$是一个十二次多项式.我们记它为

[a_{12}x^{12}+a_{11}x^{11}+a_{10}x^{10}+...+a_1x+a_0]

那么我们要求的是

[a_{12}+a_{10}+a_8+a_6+a_4+a_2]

我当时觉得要醛基插值的...

然后看了后面这个数列233了.

我当时还YY了一个无需快速幂的多项式乘方算法23333.

我们将函数记为$fleft( x ight)$.

 

记

[egin{array}{lll} S_1 = f ( 1) & & mathtt{(1)}\ S_2 = f ( 0) & & mathtt{(2)}\ S_3 = f ( - 1) & & mathtt{(3)} end{array}]

那么可知

$f(1)=a_{12}+a_{11}+a_{10}+...+a_1+a_0=64$

$f(0)=a_0=64$

$f(-1)=a_{ 12 }-a_{ 11 }+a_{ 10 }-...-a_{ 1 }+a_{ 0 }=0$

手玩出来原式=

$frac{f(1)-2f(0)+f(-1)}{2}=-32$

很有趣啊^ ^(hey that polynomial,贵圈真乱) 

P8

分解因式

[x^2-2x-2y^2+4y-xy]

遇到这种鬼畜的分解因式题窝萌就先丢给sagemath大法好报平安嘛..

但是一件更加鬼畜的事情就是学校里没有PC啊...这一定是Teachers的应卯!

当然啦,大神们可以求一下方程的根就知道了嘛.

窝萌蒟蒻就只能玩玩观察大法啦.

[x^{ 2 }-2x-2y^{ 2 }+4y-xy=\ xleft( x-2 ight) -2yleft( y-2 ight) -xy=\ xleft( x-2 ight) -2yleft( y-2 ight) -2xy+xy=\ xleft( x+y-2 ight) -2yleft( x+y-2 ight) =\ left( x-2y ight) left( x+y-2 ight) ]

P9

观察题,傻逼题.一眼秒.题目过长不描述.

P10

- Subtask 1)

$a<0,mathtt{simplify }sqrt { 4-left( a+frac { 1 }{ a }   ight) ^{ 2 } } -sqrt { 4+left( a+frac { 1 }{ a }   ight) ^{ 2 } } $.

初中数学很重要的一点,就是范围限定于实数之内.

那么我们可以看到$0leleft( a+frac { 1 }{ a }   ight) ^{ 2 }le4$

那么$-2le left( a+frac { 1 }{ a }   ight) le 0$

设$A=left| a ight|$

那么$0le left( A+frac { 1 }{ A }   ight) le 2$

解最小值得$A=2$.

那么$a=-2$.

代入原式易得答案$-2sqrt{2}$

- Subtask 2)

$frac{1}{a}-left| a ight|=1$,求$frac{1}{a}+left| a ight|=1$.

注意到$left| a ight|$不负,那么问题就好解决了.$left(frac{1}{a}+a ight)^2=left(frac{1}{a}-a ight)^2+4=5$,原式=$sqrt{5}$

两道水题.

V587 P11, 其实就是P10 Subtask 2)

P12

已知$frac { 1 }{ 4 } left( b-c ight) ^{ 2 }=left( a-b ight) left( c-a ight) , a eq 0$,求$frac{b+c}{a}$

不得不说这又是一道有趣的题.

$left( a-b ight) left( c-a ight) =ac-bc-a^{ 2 }+ab$

于是有

$frac { 1 }{ 4 } left( b-c ight) ^{ 2 }=ac-bc-a^{ 2 }+ab$

我们展开来

$frac { 1 }{ 4 } left( b^{ 2 }-2bc+c^{ 2 } ight) =ac-bc-a^{ 2 }+ab$

于是移项大法好

$frac { 1 }{ 4 } left( b^{ 2 }-2bc+c^{ 2 } ight) +bc=ac-a^{ 2 }+ab$

将$bc$移入括号

$frac { 1 }{ 4 } left( b^{ 2 }+2bc+c^{ 2 } ight) =ac-a^{ 2 }+ab$

缩项

$frac { 1 }{ 4 } left( b+c ight) ^{ 2 }=aleft( b+c-a ight) $

注意窝萌要求的$frac{b+c}{a}$,试图整个这家伙出来

$frac { left( b+c ight)  }{ a } =frac { 4left( b+c-a ight)  }{ b+c } $

我们展开右项

$frac { left( b+c ight)  }{ a } =4-frac { 4a }{ b+c } $

移项(1)

$frac { left( b+c ight)  }{ a } +frac { 4a }{ b+c } =4$

两边平方

$left( frac { left( b+c ight)  }{ a } +frac { 4a }{ b+c }   ight) ^{ 2 }=4^{ 2 }=16$

展开左项

$left( frac { left( b+c ight) ^{ 2 } }{ a^{ 2 } } +8+frac { left( 4a ight) ^{ 2 } }{ left( b+c ight) ^{ 2 } }   ight) =16$

两端各减$16$

$left( frac { left( b+c ight) ^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -8+frac { left( 4a ight) ^{ 2 } }{ left( b+c ight) ^{ 2 } }   ight) =0$

回缩左项

$left( frac { left( b+c ight)  }{ a } -frac { left( 4a ight)  }{ left( b+c ight)  }   ight) ^{ 2 }=0$

显然的,

$left( frac { left( b+c ight)  }{ a } -frac { left( 4a ight)  }{ left( b+c ight)  }   ight) =0$

也就是说,

$frac { b+c }{ a } =frac { 4a }{ b+c } $ !!!

注意(1),我们可得知,$frac{b+c}{a}=4/2=2$

很有趣的题目啊.

P13

已知实数$a,b$满足$6^a=2010,335^b=2010$,求$frac{1}{a}+frac{1}{b}$

对数傻逼题.