• Calculation 2-欧拉函数的运用


    Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 32768KB   64bit IO Format: %I64d & %I64u

     Status

    Description

    Given a positive integer N, your task is to calculate the sum of the positive integers less than N which are not coprime to N. A is said to be coprime to B if A, B share no common positive divisors except 1.
     

    Input

    For each test case, there is a line containing a positive integer N(1 ≤ N ≤ 1000000000). A line containing a single 0 follows the last test case.
     

    Output

    For each test case, you should print the sum module 1000000007 in a line.
     

    Sample Input

    3 4 0
     

    Sample Output

    0 2
     介绍欧拉函数:(公式推导,能够看相关的资料,此处不提及)
    首先我们必需要知道欧拉函数是干什么的
    欧拉函数的目的是通过某个特定的规律求出n之前与它互质的数的个数
    设φ函数为欧拉函数,那么φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),当中p1, p2……pn为x的
    全部质因数(这里说的质因子是种类,不是个数)(比方说12=2*2*3,它的因子都是质数),x是不为0的整数
    那么这道题目就好办了化简上述公式:假设p1....pn是x的质因数
    φ(x)=x*((p1-1)/p1)((p2-1)/p2)((p3-1)/p3)((p4-1)/p4)…..((pn-1)/pn)(不用忽略前面另一个x要乘上)
    如此以下的代码就是欧拉函数了接下来要说的是。假设我们知道了n之前与它互质的数的和
    ,那么不互质怎么求,非常easy,前n项和sum(n)=(n+1)*n/2高中的知识点;
    接着(不互质的数的和)=sum(n)-(n之前与它互质的数的和)。
    那怎样求n之前与它互质的数的和,首先我们应该知道一个定理就是
    假设gcd(n,i)=1,那么gcd(n,n-i)=1,如此前n个数中假设i与n互质那么n-i与n也是互质的
    如此来,n之前与它互质的数的和=(a1+n-a1)+(a2+n-a2)+(a3+n-a3)+(a4+n-a4)+......(an+n-an)
    这不正是(有多少对i与n-i乘以n)就是结果了。而互质的个数我们
    又知道了,那么有多少对就是φ(x)/2了,互质的数的和=φ(x)/2*n.
    接下来(不互质的数的和)=sum(n)-(n之前与它互质的数的和)就能够求出结果

    /*
    Author: 2486
    Memory: 1408 KB		Time: 15 MS
    Language: G++		Result: Accepted
    VJ RunId: 4178187		Real RunId: 14209894
    */
    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #include <algorithm>
    #include <cmath>
    using namespace std;
    typedef long long LL;
    const LL mod=1000000007;
    LL n;
    LL getOL(LL x) {
        LL res=x;
        for(int i=2; i<=sqrt(x); i++) {
            if(x%i==0) {
                res=res/i*(i-1);
                while(x%i==0) {
                    x/=i;
                }
            }
        }
        if(x>=2) {
            res=res/x*(x-1);
        }
        return res;
    }
    int main() {
        while(~scanf("%I64d",&n),n) {
            LL ans1=n*(n+1)/2-n;//n前,所以n不包含在求和内
            LL ans2=getOL(n)*n/2;
            printf("%I64d
    ",(ans1-ans2)%mod);
        }
        return 0;
    }
    


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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/tlnshuju/p/6978769.html
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