Time Limit: 1000MS | Memory Limit: 32768KB | 64bit IO Format: %I64d & %I64u |
Description
Given a positive integer N, your task is to calculate the sum of the positive integers less than N which are not coprime to N. A is said to be coprime to B if A, B share no common positive divisors except 1.
Input
For each test case, there is a line containing a positive integer N(1 ≤ N ≤ 1000000000). A line containing a single 0 follows the last test case.
Output
For each test case, you should print the sum module 1000000007 in a line.
Sample Input
3 4 0
Sample Output
0 2
介绍欧拉函数:(公式推导,能够看相关的资料,此处不提及)
首先我们必需要知道欧拉函数是干什么的
欧拉函数的目的是通过某个特定的规律求出n之前与它互质的数的个数
设φ函数为欧拉函数,那么φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),当中p1, p2……pn为x的
全部质因数(这里说的质因子是种类,不是个数)(比方说12=2*2*3,它的因子都是质数),x是不为0的整数
那么这道题目就好办了化简上述公式:假设p1....pn是x的质因数
φ(x)=x*((p1-1)/p1)((p2-1)/p2)((p3-1)/p3)((p4-1)/p4)…..((pn-1)/pn)(不用忽略前面另一个x要乘上)
如此以下的代码就是欧拉函数了接下来要说的是。假设我们知道了n之前与它互质的数的和
,那么不互质怎么求,非常easy,前n项和sum(n)=(n+1)*n/2高中的知识点;
接着(不互质的数的和)=sum(n)-(n之前与它互质的数的和)。
那怎样求n之前与它互质的数的和,首先我们应该知道一个定理就是
假设gcd(n,i)=1,那么gcd(n,n-i)=1,如此前n个数中假设i与n互质那么n-i与n也是互质的
如此来,n之前与它互质的数的和=(a1+n-a1)+(a2+n-a2)+(a3+n-a3)+(a4+n-a4)+......(an+n-an)
这不正是(有多少对i与n-i乘以n)就是结果了。而互质的个数我们
又知道了,那么有多少对就是φ(x)/2了,互质的数的和=φ(x)/2*n.
接下来(不互质的数的和)=sum(n)-(n之前与它互质的数的和)就能够求出结果
欧拉函数的目的是通过某个特定的规律求出n之前与它互质的数的个数
设φ函数为欧拉函数,那么φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),当中p1, p2……pn为x的
全部质因数(这里说的质因子是种类,不是个数)(比方说12=2*2*3,它的因子都是质数),x是不为0的整数
那么这道题目就好办了化简上述公式:假设p1....pn是x的质因数
φ(x)=x*((p1-1)/p1)((p2-1)/p2)((p3-1)/p3)((p4-1)/p4)…..((pn-1)/pn)(不用忽略前面另一个x要乘上)
如此以下的代码就是欧拉函数了接下来要说的是。假设我们知道了n之前与它互质的数的和
,那么不互质怎么求,非常easy,前n项和sum(n)=(n+1)*n/2高中的知识点;
接着(不互质的数的和)=sum(n)-(n之前与它互质的数的和)。
那怎样求n之前与它互质的数的和,首先我们应该知道一个定理就是
假设gcd(n,i)=1,那么gcd(n,n-i)=1,如此前n个数中假设i与n互质那么n-i与n也是互质的
如此来,n之前与它互质的数的和=(a1+n-a1)+(a2+n-a2)+(a3+n-a3)+(a4+n-a4)+......(an+n-an)
这不正是(有多少对i与n-i乘以n)就是结果了。而互质的个数我们
又知道了,那么有多少对就是φ(x)/2了,互质的数的和=φ(x)/2*n.
接下来(不互质的数的和)=sum(n)-(n之前与它互质的数的和)就能够求出结果
/* Author: 2486 Memory: 1408 KB Time: 15 MS Language: G++ Result: Accepted VJ RunId: 4178187 Real RunId: 14209894 */ #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath> using namespace std; typedef long long LL; const LL mod=1000000007; LL n; LL getOL(LL x) { LL res=x; for(int i=2; i<=sqrt(x); i++) { if(x%i==0) { res=res/i*(i-1); while(x%i==0) { x/=i; } } } if(x>=2) { res=res/x*(x-1); } return res; } int main() { while(~scanf("%I64d",&n),n) { LL ans1=n*(n+1)/2-n;//n前,所以n不包含在求和内 LL ans2=getOL(n)*n/2; printf("%I64d ",(ans1-ans2)%mod); } return 0; }