多元函数
1. 多元函数的定义：https://www.youtube.com/watch?v=jQygXb1BUaI
多元函数的特点：一个变量存在与其它多个变量的依赖关系。这种依赖关系我们成为多元函数。
n元函数：就是n元上的点集到实数集R之间的映射。无论是什么函数我们都是从一个集合到另一个集合之间的映射。
多元函数可以理解为是一个多输入，单输出的系统。
2. 多元函数的连续性 https://www.youtube.com/watch?v=mwpCHOqflGo
要证明这个函数在原点是连续的，就是要证明函数在原点的极限是等于0的。|f(x,y)| = |x2/x2+y2 * y| （其中x2/x2+y2 <=1），所以函数f(x,y)<=|y|.
3. 函数可微必要与充分条件
全微分公式，可微，则函数一定连续。
偏导数存在，并不一定保证函数是连续的，但函数是可微的话，函数一定是连续的。
全微分的几何意义
曲面S：z=f(x,y) 函数是可微。在平面上的点分别对x，y做增量Δx，Δy，这样就从x0，y0变化到（x0+Δx,y0+Δy）。函数的增量的几何意义：指的是函数值从x0，y0这一点变化到（x0+Δx,y0+Δy）这点，所对应的函数值的增量。相应的全微分：是切平面方程（z=f(x0,y0)+f'x(x0,y0)(x-x0)+f'y(x0,y0)(y-y0).）所对应的函数从x0，y0，变化到（x0+Δx,y0+Δy）这点，所对应的函数值的增量。
证明：
ΔL：切平面函数所对应的增量，即Z=f(x,y)函数在（x0，y0）的全微分。
因此，我们得到全微分的几何解释：切平面所对应的方程的函数从x0，y0变化到（x0+Δx,y0+Δy）的一个增量
上图可以看见，ΔZ是函数的增量，而dZ是切平面的增量，即全微分。
全微分的几何意义：切平面上对应竖坐标的增量。
4. 梯度机器集合意义 https://www.youtube.com/watch?v=BDyX5C4etrU
向量相加，利用三角原理是叠加；向量点乘是投影。
多元函数的方向导数：就是点在曲面上切线的斜率。对于2元函数f(x,y)，在x，y关于u方向的方向导数：Duf(x,y) = df/dx*cosa + df/dy*cosβ。a，β分别为斜率与u向量方向的夹角。
方向导数也可以看成是两个向量的点乘。（cosa，cosb）正好是方向u的单位向量。梯度就是多元函数的切线斜率对方向向量的投影，我们把这样的向量称为梯度向量，简称梯度。
当cosθ=1的时候，即当νF与u的方向一致的时候，梯度是下降最快。u0是单位向量。
梯度就是沿曲面方向的切线；而方向导数是梯度在u方向的投影，梯度方向是与在等高线上的切线垂直。
综上，一个函数的梯度向量是与函数的变化是密切相关的。
方向导数表示成：梯度向量与方向的单位向量做点乘的结果。
所以，在计算2元函数和3元函数的方向导数的时候，要把梯度向量算出来，把方向向量单位化。然后把这两个向量做点乘，得到所需的方程组。
梯度的几何意义： https://www.youtube.com/watch?v=3-j85PUFM6Y
梯度的几何意义：梯度向量是与切向量垂直的。它的方向是保证函数值增加的方向。
二维函数f(x,y)，其切向量为T (1, dy/dx) = (1, f'x/f'y) （隐含函数）。取与T平行的向量(f'y, -f'x)
梯度向量：νF=（f'x，f'y），梯度向量和切向量互相垂直。
5. 极大值极小值
海塞矩阵是f对于各变量的二阶偏导数，如果各二阶偏导数都是连续的话，这个矩阵就是一个是对称矩阵（正定/负定）。多元函数的二阶导数是正还是负，则是判断海塞矩阵是正定还是负定。
公式简化后：
6. 拉格朗日乘子法： https://www.youtube.com/watch?v=nOcvxjB6YgA
http://aca.cust.edu.tw/online/custcourses/index.html#
1. 三维空间坐标几何
单变量函数：平面曲线。
双变量函数：空间曲面
2. 三度空间的向量
单位向量：i向量，j向量，k向量，向量模长为1。i,j,k为基底。
向量的运算
三角形不等式：|u向量+v向量| <= | u向量|+|v向量|
向量的应用
向量外积
U向量×V向量= i = (y1*z2-z1*y2), j = (z1*x2-x1*z2), k=(x1*y2-y1*x2) = <-2,1,1,>
U向量与V向量的外积是分别与U向量和V向量相垂直。
3. 平面方程式
已知点和法向量求平面方程：取平面的任一一点（x,y,z），这一点到已知点（2，-1，3）的向量，与法向量内积，便是平面方程了。
已知平面内三个点：平面的点，两两点做两个向量，平面内的两个向量的外积得到法向量，用（0，0，0）和法向量来定平面方程式。
4. 二次曲线
球：x2+y2+z2=0，是以原点为中心的球。
当等号右边越小，双曲面的中间部分则越向内凹。
当Z为0时，为坐标系上的一个椭圆面。
5. 等高线
等高线：在三维的空间中，怎么用二维的平面去描述。即等Z为一个常数时，Z的大小不同，相当于在不同高度对双曲线做了一个截面。 这个截面在X,Y轴上的投影所形成的截面称为等高线截面。
等高线的应用：等压线。
6. 偏导数
∂ 意思是partional，在多变量函数中，一个变量变动，而其他变量不变时，对多变量函数中对单变量的求导。
∂ f/∂ x：是以y不变，x为变量求导。
∂ f/∂ x 的几何意义：在坐标系中，y值固定，相当于是对几何图形在y0的切面，∂ f/∂ x，这是这个切面和几何图形上的切线的斜率。
同理，∂ f/∂ y 则是x0固定，对x0切面的切线斜率。
7. 函数的极限
双变量的极限，与单变量极限不同，双变量极限考察的是在空间无限靠近一条直线L。
下面的例子说明：极限不存在，由于变量x和y沿着不同的路径，得到不同的答案，则这个极限不存在。
8. 双变量函数的连续性
设 f(x,y) 是一个双曲面函数，一、它在（a，b）点是存在的，二、它的极限值等于函数值。
用定义证明 f(x,y) 存在，设所有的 ξ>0, 存在 δ> 0。 即 0< |(x,y) - (0,0)| < δ => |f(x,y)-0|<ξ
由于当(x,y) != (0,0)时，f(x,y) =|y*sin1/x| <= |y| (sin1/x <=1)。
由于 |(x,y)-(0,0)| 是一个距离sqrt(x2+y2)，将f(x,y) 投影到二维空间，x，y是一个圆。距离< δ。
9. 切平面
切线方程式 （单变量函数）
切平面方程式：要 求法平面
求法平面，就是求当y0是常数时，a向量在x，z坐标轴的平面的切线，同理，x0是常数，b向量在y，z坐标轴平面的切线。
有了a向量和b向量，则可以求出函数Z=f(x,y) 的切平面的法向量为 νF=<-fx,-fy,1>。求出法向量再加上一个定点就可以求出切平面方程。
求切平面的例子
10. 高阶偏导数
11. 全微分
12. 相关变率
13.多元函数连锁律
14. 隐函数的微分公式
隐函数的微分公式也可以用微分的连锁律来求，结果相同。
15. 方向导数
方向导数定义：在平面内的一个点（x0，y0），这个点对应到曲面的上这个点的方向相同的切线的斜率。
将极限的前半部分设为以h为自变量的函数f(h)，对这个函数求全微分。dx/dh = u1；dy/dh=u2，所以等式Du=<Fx,Fy>*<u1,u2>
16. 梯度
梯度就是沿曲面方向的切线；而方向导数是梯度在u方向的投影，梯度方向是与在等高线上的切线垂直。
梯度νF=<fx,fy>，
方向导数 Duf = <fx,fy><u1,u2>，两个向量的点乘，即梯度在单位向量u上的投影。
极大极小值
1. 找临界值。
拉格朗日乘子法
三维空间的曲面，我们给他一个限制条件下，我们求他的极值。
限制条件：g(x,y)=0，这是平面上的曲线，交曲面于一个抛物线。抛物线有一个极值。将曲面投影到x，y轴上，从等高线可以看出，g(x,y)与等高线相切，相切的点就是最小值。
拉格朗日乘子法的几何意义，函数νf与νg是成比例的，即 νf=λνg。
