• 二项式系数


    二项式系数

    说明:一般情况下(0^0 = 1)


    二项式定理

    对所有的非负整数(k)(n)定义的二项式系数(inom{n}{k})
    如果(k > n),则(inom{n}{k} = 0)
    对所有的(n)(inom{n}{0} = 1)
    如果(n)是是一个正整数,且(1 le k le n),则(inom{n}{k} = frac{n!}{k! (n - k)!} = frac{n (n - 1) cdots (n - k + 1)}{k (k - 1) cdots 1})

    有以下一些性质成立

    [inom{n}{k} = inom{n}{n - k} ag{1} ]

    显然


    Pascal公式

    [inom{n}{k} = inom{n - 1}{k} + inom{n - 1}{k - 1} ag{2} ]

    根据定义或组合意义可证。


    [inom{n}{0} + inom{n}{1} + cdots + inom{n}{n} = 2^n (n ge 0) ag{3} ]

    可用有关二进制的组合意义理解。


    二项式定理
    (n)是正整数,对于所有的(x, y)有$$(x + y)^n = sumlimits_{k = 0}^n inom{n}{k} x^{n - k} y^k ag{4}$$
    数学归纳即可

    特殊情况
    (x = y = 1),即可推出((3))

    (y = 1),有$$(x + 1)^n = sumlimits_{k = 0}^n inom{n}{k} x^k = sumlimits_{k = 0}^n inom{n}{n - k} x^k ag{5}$$

    (x = 1, y = -1),推出

    [sumlimits_{k = 0}^n (-1)^k inom{n}{k} = inom{n}{0} - inom{n}{1} + inom{n}{2} - cdots + (-1)^n inom{n}{n} = 0 (n ge 1) ag{6} ]

    结合((3))即可得$$inom{n}{0} + inom{n}{2} + cdots = inom{n}{1} + inom{n}{3} + cdots = 2^{n - 1} (n ge 1) ag{7}$$


    [k inom{n}{k} = n inom{n - 1}{k - 1} (n,k都是正整数) ag{8} ]

    根据定义可证


    [sumlimits_{k = 1}^n kinom{n}{k} = n 2^{n - 1} (n ge 1) ag{9} ]

    证明一:
    (s = 0 inom{n}{0} + inom{n}{1} + 2 inom{n}{2} + cdots + n inom{n}{n})
    将所有项反转,得(s = n inom{n}{n} + cdots + 2 inom{n}{2} + inom{n}{1} + 0 inom{n}{0})
    ((1)),两式相加得(2s = n sumlimits_{k = 0}^n inom{n}{k} = n 2^n),所以(s = n 2^{n - 1})

    证明二:
    根据((8))((3))可得(sumlimits_{k = 0}^n kinom{n}{k} = sumlimits_{k = 1}^n ninom{n - 1}{k - 1} = n sumlimits_{k = 0}^{n - 1} inom{n - 1}{k} = n 2^{n - 1})

    证明三:
    ((x + 1)^n = sumlimits_{k = 0}^n inom{n}{k} x^k (5))两边关于(x)求导,可得(n (x + 1)^{n - 1} = sumlimits_{k = 1}^n k inom{n}{k} x^{k - 1})
    代入(x = 1)即可


    [sumlimits_{k = 1}^n k^2 inom{n}{k} = n (n + 1) 2^{n - 2} ag{10} ]

    证明一:
    ((8))((9))(sumlimits_{k = 1}^n k^2 inom{n}{k} = n sumlimits_{k = 1}^n k inom{n - 1}{k - 1} = n (sumlimits_{k = 1}^{n - 1} k inom{n - 1}{k} + sumlimits_{k = 0}^{n - 1} inom{n - 1}{k}) = n (n + 1) 2^{n - 2})

    证明二:
    ((x + 1)^n = sumlimits_{k = 0}^n inom{n}{k} x^k (5))两边关于(x)求导,可得(n (x + 1)^{n - 1} = sumlimits_{k = 1}^n k inom{n}{k} x^{k - 1})
    两边同乘(x)(n x (x + 1)^{n - 1} = sumlimits_{k = 1}^n k inom{n}{k} x^k)
    两边关于(x)求导,可得(n [(x + 1)^{n - 1} + (n - 1) x (x + 1) ^ {n - 2}] = sumlimits_{k = 1}^n k^2 inom{n}{k} x^{k - 1})
    代入(x = 1)即可

    由此可见,我们可以通过上次操作,不断关于(x)求导,再乘(x),可以得到(sumlimits_{k = 1}^n k^p inom{n}{k})相对于任何正整数(p)的恒等式,但是随着(p)的增大,这将变得很复杂。


    [sumlimits_{k = 0}^n frac{inom{n}{k}}{k + 1} = frac{2^{n + 1} - 1}{n + 1} ag{11} ]

    ((8))可得(frac{inom{n}{k}}{k + 1} = frac{inom{n + 1}{k + 1}}{n + 1})
    (sumlimits_{k = 0}^n frac{inom{n}{k}}{k + 1} = frac{sumlimits_{k = 1}^{n + 1} inom{n + 1}{k}}{n + 1} = frac{2^{n + 1} - 1}{n + 1})


    (sumlimits_{k = 0}^{n - 1} inom{n}{k} inom{n}{k + 1} = inom{2n}{n + 1})
    ((x + 1)^n (1 + x)^n = (x + 1)^{2n})
    二项式定理((4))展开,得((sumlimits_{k = 0}^n inom{n}{k} x^k) (sumlimits_{k = 0}^n inom{n}{n - k} x^k) = sumlimits_{k = 0}{2n} inom{2n}{k} x^k)
    比较(x^{n + 1})前的系数,即可得(inom{2n}{n + 1} = sumlimits_{k = 1}^{n} inom{n}{k} inom{n}{k - 1})


    范德蒙卷积公式
    对于所有的正整数(m_1, m_2, n),有$$sumlimits_{k = 0}^n inom{m_1}{n}inom{m_2}{n - k} = inom{m_1 + m_2}{n} ag{13}$$
    ((x + 1)^{m_1} (x + 1)^{m_2} = (x + 1)^{m_1 + m_2})
    二项式定理((4))展开,得((sumlimits_{k = 0}^{m_1} inom{m_1}{k} x^k) (sumlimits_{k = 0}^{m_2} inom{m_2}{k} x^k) = sumlimits_{k = 0}^{m_1 + m_2} inom{m_1 + m_2}{k} x^k)
    比较(x^n)前的系数,即可得(inom{m_1 + m_2}{n} = sumlimits_{k = 0}^{n} inom{m_1}{k} inom{m_2}{n - k})


    [sumlimits_{k = 0}^n inom{n}{k}^2 = inom{2n}{n} (n ge 0) ag{14} ]

    ((1))((13))可得(sumlimits_{k = 0}^n inom{n}{k}^2 = sumlimits_{k = 0}^{n} inom{n}{k} inom{n}{n - k} = inom{2n}{n})


    对于Pascal公式(inom{n}{k} = inom{n - 1}{k} + inom{n - 1}{k - 1} (2)),我们不断把(inom{n - x}{k})的这一项展开,得
    (inom{n}{k} = inom{n - 1}{k - 1} + inom{n - 1}{k})
    (inom{n}{k} = inom{n - 1}{k - 1} + inom{n - 2}{k - 1} + inom{n - 2}{k})
    (inom{n}{k} = inom{n - 1}{k - 1} + inom{n - 2}{k - 1} + inom{n - 3}{k - 1} + inom{n - 3}{k})
    (vdots)
    (inom{n}{k} = inom{0}{k} + inom{0}{k - 1} + inom{1}{k - 1} + cdots + inom{n - 2}{k - 1} + inom{n - 1}{k - 1})
    (inom{0}{k} = 0),用(n + 1)取代(n),用(k + 1)代取(k),即可得

    [sumlimits_{i = 0}^n inom{i}{k} = inom{n + 1}{k + 1} ag{15} ]

    等式((15))对于所有非负整数(n)(k)都成立。

    这是一个二项式系数对相邻的一列展开,这可以拓展为对比它小的一列展开
    二项式系数(inom{n}{k})对于第(m)列展开,得

    [inom{n}{k} = sumlimits_{i = m}^{n - k + m} inom{n - i - 1}{k - m - 1} inom{i}{m} ag{16} ]

    初始成立条件是公式((15)),对(m)归纳即可。

    类似的,我们也可以对于第(m)行展开,得

    [inom{n}{k} = sumlimits_{i = 0}^{n - m} inom{n - m}{i} inom{m}{k - i} ag{17} ]

    显然。



    扩展二项式系数的定义
    (r)为实数,(k)为整数

    [inom{r}{k} = left { egin{aligned} & frac{r (r - 1) cdots (r - k + 1)}{k!} & k ge 1 & \ & 1 & k = 0 & \ & 0 & k le -1 & end{aligned} ight . ]

    Pascal公式((2))和公式((8))都还是成立的,
    即$$inom{r}{k} = inom{r - 1}{k} + inom{r - 1}{k - 1} 和 k inom{r}{k} = r inom{r - 1}{k - 1}$$
    对于Pascal公式(inom{r}{k} = inom{r - 1}{k} + inom{r - 1}{k - 1}),我们不断展开变量最小的那一项,得
    (inom{r}{k} = inom{r - 1}{k} + inom{r - 1}{k - 1})
    (inom{r}{k} = inom{r - 1}{k} + inom{r - 2}{k - 1} + inom{r - 2}{k - 2})
    (inom{r}{k} = inom{r - 1}{k} + inom{r - 2}{k - 1} + inom{r - 3}{k - 2} + inom{r - 3}{k - 3})
    (vdots)
    (inom{r}{k} = inom{r - 1}{k} + inom{r - 2}{k - 1} + inom{r - 3}{k - 2} + cdots + inom{r - k}{1} + inom{r - k - 1}{0} + inom{r - k - 1}{-1})
    最后一项(inom{r - k - 1}{-1})(0),可以消去。用(r + k + 1)取代(r),得

    [sumlimits_{i = 0}^{k} inom{r + i}{i} = inom{r + k + 1}{k} ag{18} ]

    等式((16))对于所有实数(r)和所有整数(k)都成立。



    二项式系数的单峰性

    留坑



    多项式定理

    多项式系数的定义为(inom{n}{n_1 n_2 cdots n_t} = frac{n!}{n_1! n_2! cdots n_t!})
    其中,(n_1, n_2, cdots, n_t)是非负整数,且(n_1 + n_2 + cdots + n_t = n)


    组合意义:有(t)种物品,第(i)个物品有(n_i)个,同一种物品完全一样,它的排列个数。


    多项式系数的Pascal公式

    [inom{n}{n_1 n_2 cdots n_t} = inom{n - 1}{n_1 - 1 n_2 cdots n_t} + inom{n - 1}{n_1 n_2 - 1 cdots n_t} + cdots + inom{n - 1}{n_1 n_2 cdots n_t - 1} ag{18} ]

    根据定义即可证。


    多项式定理
    (n)为正整数,对于所有的(x_1, x_2, cdots, x_t),有

    [(x_1 + x_2 + cdots + x_t)^n = sumlimits inom{n}{n_1 n_2 cdots n_t} x_1^{n_1}x_2^{n_2} cdots x_t^{n_t} ag{20} ]

    根据组合意义即可证。



    广义二项式定理

    (alpha)为实数,对于所有满足(0 le |x| < |y|的x和y),有

    [(x + y)^{alpha} = sumlimits_{k = 0}^{infty} inom{alpha}{k} x^{k} y^{alpha - k} ag{21} ]

    证明留坑

    参考资料

    组合数学(原书第5版)

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