二项式系数
说明:一般情况下(0^0 = 1)
二项式定理
对所有的非负整数(k)和(n)定义的二项式系数(inom{n}{k}),
如果(k > n),则(inom{n}{k} = 0),
对所有的(n),(inom{n}{0} = 1),
如果(n)是是一个正整数,且(1 le k le n),则(inom{n}{k} = frac{n!}{k! (n - k)!} = frac{n (n - 1) cdots (n - k + 1)}{k (k - 1) cdots 1})
有以下一些性质成立
显然
Pascal公式
根据定义或组合意义可证。
可用有关二进制的组合意义理解。
二项式定理
若(n)是正整数,对于所有的(x, y)有$$(x + y)^n = sumlimits_{k = 0}^n inom{n}{k} x^{n - k} y^k ag{4}$$
数学归纳即可
特殊情况
当(x = y = 1),即可推出((3))
当(y = 1),有$$(x + 1)^n = sumlimits_{k = 0}^n inom{n}{k} x^k = sumlimits_{k = 0}^n inom{n}{n - k} x^k ag{5}$$
当(x = 1, y = -1),推出
结合((3))即可得$$inom{n}{0} + inom{n}{2} + cdots = inom{n}{1} + inom{n}{3} + cdots = 2^{n - 1} (n ge 1) ag{7}$$
根据定义可证
证明一:
令(s = 0 inom{n}{0} + inom{n}{1} + 2 inom{n}{2} + cdots + n inom{n}{n}),
将所有项反转,得(s = n inom{n}{n} + cdots + 2 inom{n}{2} + inom{n}{1} + 0 inom{n}{0}),
由((1)),两式相加得(2s = n sumlimits_{k = 0}^n inom{n}{k} = n 2^n),所以(s = n 2^{n - 1})
证明二:
根据((8))和((3))可得(sumlimits_{k = 0}^n kinom{n}{k} = sumlimits_{k = 1}^n ninom{n - 1}{k - 1} = n sumlimits_{k = 0}^{n - 1} inom{n - 1}{k} = n 2^{n - 1})
证明三:
对((x + 1)^n = sumlimits_{k = 0}^n inom{n}{k} x^k (5))两边关于(x)求导,可得(n (x + 1)^{n - 1} = sumlimits_{k = 1}^n k inom{n}{k} x^{k - 1})
代入(x = 1)即可
证明一:
由((8))和((9)),(sumlimits_{k = 1}^n k^2 inom{n}{k} = n sumlimits_{k = 1}^n k inom{n - 1}{k - 1} = n (sumlimits_{k = 1}^{n - 1} k inom{n - 1}{k} + sumlimits_{k = 0}^{n - 1} inom{n - 1}{k}) = n (n + 1) 2^{n - 2})
证明二:
对((x + 1)^n = sumlimits_{k = 0}^n inom{n}{k} x^k (5))两边关于(x)求导,可得(n (x + 1)^{n - 1} = sumlimits_{k = 1}^n k inom{n}{k} x^{k - 1})
两边同乘(x)得(n x (x + 1)^{n - 1} = sumlimits_{k = 1}^n k inom{n}{k} x^k)
两边关于(x)求导,可得(n [(x + 1)^{n - 1} + (n - 1) x (x + 1) ^ {n - 2}] = sumlimits_{k = 1}^n k^2 inom{n}{k} x^{k - 1})
代入(x = 1)即可
由此可见,我们可以通过上次操作,不断关于(x)求导,再乘(x),可以得到(sumlimits_{k = 1}^n k^p inom{n}{k})相对于任何正整数(p)的恒等式,但是随着(p)的增大,这将变得很复杂。
由((8))可得(frac{inom{n}{k}}{k + 1} = frac{inom{n + 1}{k + 1}}{n + 1})
(sumlimits_{k = 0}^n frac{inom{n}{k}}{k + 1} = frac{sumlimits_{k = 1}^{n + 1} inom{n + 1}{k}}{n + 1} = frac{2^{n + 1} - 1}{n + 1})
(sumlimits_{k = 0}^{n - 1} inom{n}{k} inom{n}{k + 1} = inom{2n}{n + 1})
((x + 1)^n (1 + x)^n = (x + 1)^{2n})
二项式定理((4))展开,得((sumlimits_{k = 0}^n inom{n}{k} x^k) (sumlimits_{k = 0}^n inom{n}{n - k} x^k) = sumlimits_{k = 0}{2n} inom{2n}{k} x^k)
比较(x^{n + 1})前的系数,即可得(inom{2n}{n + 1} = sumlimits_{k = 1}^{n} inom{n}{k} inom{n}{k - 1})
范德蒙卷积公式
对于所有的正整数(m_1, m_2, n),有$$sumlimits_{k = 0}^n inom{m_1}{n}inom{m_2}{n - k} = inom{m_1 + m_2}{n} ag{13}$$
((x + 1)^{m_1} (x + 1)^{m_2} = (x + 1)^{m_1 + m_2})
二项式定理((4))展开,得((sumlimits_{k = 0}^{m_1} inom{m_1}{k} x^k) (sumlimits_{k = 0}^{m_2} inom{m_2}{k} x^k) = sumlimits_{k = 0}^{m_1 + m_2} inom{m_1 + m_2}{k} x^k)
比较(x^n)前的系数,即可得(inom{m_1 + m_2}{n} = sumlimits_{k = 0}^{n} inom{m_1}{k} inom{m_2}{n - k})
由((1))和((13))可得(sumlimits_{k = 0}^n inom{n}{k}^2 = sumlimits_{k = 0}^{n} inom{n}{k} inom{n}{n - k} = inom{2n}{n})
对于Pascal公式(inom{n}{k} = inom{n - 1}{k} + inom{n - 1}{k - 1} (2)),我们不断把(inom{n - x}{k})的这一项展开,得
(inom{n}{k} = inom{n - 1}{k - 1} + inom{n - 1}{k})
(inom{n}{k} = inom{n - 1}{k - 1} + inom{n - 2}{k - 1} + inom{n - 2}{k})
(inom{n}{k} = inom{n - 1}{k - 1} + inom{n - 2}{k - 1} + inom{n - 3}{k - 1} + inom{n - 3}{k})
(vdots)
(inom{n}{k} = inom{0}{k} + inom{0}{k - 1} + inom{1}{k - 1} + cdots + inom{n - 2}{k - 1} + inom{n - 1}{k - 1})
由(inom{0}{k} = 0),用(n + 1)取代(n),用(k + 1)代取(k),即可得
等式((15))对于所有非负整数(n)和(k)都成立。
这是一个二项式系数对相邻的一列展开,这可以拓展为对比它小的一列展开
二项式系数(inom{n}{k})对于第(m)列展开,得
初始成立条件是公式((15)),对(m)归纳即可。
类似的,我们也可以对于第(m)行展开,得
显然。
扩展二项式系数的定义
(r)为实数,(k)为整数
Pascal公式((2))和公式((8))都还是成立的,
即$$inom{r}{k} = inom{r - 1}{k} + inom{r - 1}{k - 1} 和 k inom{r}{k} = r inom{r - 1}{k - 1}$$
对于Pascal公式(inom{r}{k} = inom{r - 1}{k} + inom{r - 1}{k - 1}),我们不断展开变量最小的那一项,得
(inom{r}{k} = inom{r - 1}{k} + inom{r - 1}{k - 1})
(inom{r}{k} = inom{r - 1}{k} + inom{r - 2}{k - 1} + inom{r - 2}{k - 2})
(inom{r}{k} = inom{r - 1}{k} + inom{r - 2}{k - 1} + inom{r - 3}{k - 2} + inom{r - 3}{k - 3})
(vdots)
(inom{r}{k} = inom{r - 1}{k} + inom{r - 2}{k - 1} + inom{r - 3}{k - 2} + cdots + inom{r - k}{1} + inom{r - k - 1}{0} + inom{r - k - 1}{-1})
最后一项(inom{r - k - 1}{-1})为(0),可以消去。用(r + k + 1)取代(r),得
等式((16))对于所有实数(r)和所有整数(k)都成立。
二项式系数的单峰性
留坑
多项式定理
多项式系数的定义为(inom{n}{n_1 n_2 cdots n_t} = frac{n!}{n_1! n_2! cdots n_t!})
其中,(n_1, n_2, cdots, n_t)是非负整数,且(n_1 + n_2 + cdots + n_t = n)
组合意义:有(t)种物品,第(i)个物品有(n_i)个,同一种物品完全一样,它的排列个数。
多项式系数的Pascal公式
根据定义即可证。
多项式定理
若(n)为正整数,对于所有的(x_1, x_2, cdots, x_t),有
根据组合意义即可证。
广义二项式定理
若(alpha)为实数,对于所有满足(0 le |x| < |y|的x和y),有
证明留坑
参考资料
组合数学(原书第5版)